Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2263 / 6577
↖ ↑ ↗
← S 73.035419°
W 80.551758°		 ← 1 425.78 m → S 73.035419°
W 80.507812°		 →
↑
1 425.26 m
↓
↑
1 425.26 m
↓
S 73.048237°
W 80.551758°		 ← 1 424.74 m →
2 031 362 m²		 S 73.048237°
W 80.507812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27630615234375 y=0.80291748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27630615234375 × 213)
    floor (0.27630615234375 × 8192)
    floor (2263.5)     		tx = 2263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80291748046875 × 213)
    floor (0.80291748046875 × 8192)
    floor (6577.5)     		ty = 6577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2263 / 6577 ti = "13/2263/6577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2263/6577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2263 ÷ 213
    2263 ÷ 8192     		x = 0.2762451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6577 ÷ 213
    6577 ÷ 8192     		y = 0.8028564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.447509765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40589339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8028564453125 × 2 - 1) × π
    -0.605712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90290316731775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40589339} λ = -1.40589339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90290316731775))-π/2
    2×atan(0.149135026196639)-π/2
    2×0.148043900305543-π/2
    0.296087800611087-1.57079632675     		φ = -1.27470853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40589339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.551758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27470853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.035419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2263 KachelY 6577 -1.40589339 -1.27470853 -80.551758 -73.035419
    Oben rechts KachelX + 1 2264 KachelY 6577 -1.40512640 -1.27470853 -80.507812 -73.035419
    Unten links KachelX 2263 KachelY + 1 6578 -1.40589339 -1.27493224 -80.551758 -73.048237
    Unten rechts KachelX + 1 2264 KachelY + 1 6578 -1.40512640 -1.27493224 -80.507812 -73.048237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27470853--1.27493224) × R
    0.000223709999999988 × 6371000     		dl = 1425.25640999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27470853--1.27493224) × R
    0.000223709999999988 × 6371000     		dr = 1425.25640999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40589339--1.40512640) × cos(-1.27470853) × R
    0.000766989999999801 × 0.291780484205658 × 6371000     		do = 1425.78337822353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40589339--1.40512640) × cos(-1.27493224) × R
    0.000766989999999801 × 0.291566501577403 × 6371000     		du = 1424.73775354639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27470853)-sin(-1.27493224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291780484205658-0.291566501577403)×R²
    abs(-1.40512640--1.40589339)×0.000213982628254783×R²
    0.000766989999999801×0.000213982628254783×6371000²
    0.000766989999999801×0.000213982628254783×40589641000000     		ar = 2031361.76592059m²