Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22627 / 47589
↖ ↑ ↗
← S 62.847626°
W 55.706177°		 ← 278.77 m → S 62.847626°
W 55.700683°		 →
↑
278.73 m
↓
↑
278.73 m
↓
S 62.850133°
W 55.706177°		 ← 278.74 m →
77 698 m²		 S 62.850133°
W 55.700683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345268249511719 y=0.726158142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345268249511719 × 216)
    floor (0.345268249511719 × 65536)
    floor (22627.5)     		tx = 22627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726158142089844 × 216)
    floor (0.726158142089844 × 65536)
    floor (47589.5)     		ty = 47589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22627 / 47589 ti = "16/22627/47589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22627/47589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22627 ÷ 216
    22627 ÷ 65536     		x = 0.345260620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47589 ÷ 216
    47589 ÷ 65536     		y = 0.726150512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345260620117188 × 2 - 1) × π
    -0.309478759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97225620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726150512695312 × 2 - 1) × π
    -0.452301025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4209455785377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97225620} λ = -0.97225620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4209455785377))-π/2
    2×atan(0.241485565336864)-π/2
    2×0.236949163511351-π/2
    0.473898327022701-1.57079632675     		φ = -1.09689800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97225620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.706177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09689800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.847626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22627 KachelY 47589 -0.97225620 -1.09689800 -55.706177 -62.847626
    Oben rechts KachelX + 1 22628 KachelY 47589 -0.97216032 -1.09689800 -55.700683 -62.847626
    Unten links KachelX 22627 KachelY + 1 47590 -0.97225620 -1.09694175 -55.706177 -62.850133
    Unten rechts KachelX + 1 22628 KachelY + 1 47590 -0.97216032 -1.09694175 -55.700683 -62.850133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09689800--1.09694175) × R
    4.37500000001201e-05 × 6371000     		dl = 278.731250000765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09689800--1.09694175) × R
    4.37500000001201e-05 × 6371000     		dr = 278.731250000765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97225620--0.97216032) × cos(-1.09689800) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.45635845988211 × 6371000     		do = 278.767240629648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97225620--0.97216032) × cos(-1.09694175) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.456319530869526 × 6371000     		du = 278.743460784696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09689800)-sin(-1.09694175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45635845988211-0.456319530869526)×R²
    abs(-0.97216032--0.97225620)×3.89290125845654e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.89290125845654e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.89290125845654e-05×40589641000000     		ar = 77697.8273594141m²