Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22623 / 47665
↖ ↑ ↗
← S 63.037530°
W 55.728149°		 ← 276.94 m → S 63.037530°
W 55.722656°		 →
↑
276.95 m
↓
↑
276.95 m
↓
S 63.040021°
W 55.728149°		 ← 276.91 m →
76 693 m²		 S 63.040021°
W 55.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345207214355469 y=0.727317810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345207214355469 × 216)
    floor (0.345207214355469 × 65536)
    floor (22623.5)     		tx = 22623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727317810058594 × 216)
    floor (0.727317810058594 × 65536)
    floor (47665.5)     		ty = 47665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22623 / 47665 ti = "16/22623/47665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22623/47665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22623 ÷ 216
    22623 ÷ 65536     		x = 0.345199584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47665 ÷ 216
    47665 ÷ 65536     		y = 0.727310180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345199584960938 × 2 - 1) × π
    -0.309600830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97263969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727310180664062 × 2 - 1) × π
    -0.454620361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42823198727995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97263969} λ = -0.97263969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42823198727995))-π/2
    2×atan(0.239732397706994)-π/2
    2×0.235291937473054-π/2
    0.470583874946109-1.57079632675     		φ = -1.10021245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97263969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.728149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10021245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.037530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22623 KachelY 47665 -0.97263969 -1.10021245 -55.728149 -63.037530
    Oben rechts KachelX + 1 22624 KachelY 47665 -0.97254382 -1.10021245 -55.722656 -63.037530
    Unten links KachelX 22623 KachelY + 1 47666 -0.97263969 -1.10025592 -55.728149 -63.040021
    Unten rechts KachelX + 1 22624 KachelY + 1 47666 -0.97254382 -1.10025592 -55.722656 -63.040021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10021245--1.10025592) × R
    4.34700000000454e-05 × 6371000     		dl = 276.947370000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10021245--1.10025592) × R
    4.34700000000454e-05 × 6371000     		dr = 276.947370000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97263969--0.97254382) × cos(-1.10021245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453406774186826 × 6371000     		do = 276.935312508459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97263969--0.97254382) × cos(-1.10025592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453368028786331 × 6371000     		du = 276.911647291693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10021245)-sin(-1.10025592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453406774186826-0.453368028786331)×R²
    abs(-0.97254382--0.97263969)×3.87454004949772e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87454004949772e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87454004949772e-05×40589641000000     		ar = 76693.2294616977m²