Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22622 / 47658
↖ ↑ ↗
← S 63.020090°
W 55.733643°		 ← 277.13 m → S 63.020090°
W 55.728149°		 →
↑
277.14 m
↓
↑
277.14 m
↓
S 63.022583°
W 55.733643°		 ← 277.11 m →
76 800 m²		 S 63.022583°
W 55.728149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345191955566406 y=0.727210998535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345191955566406 × 216)
    floor (0.345191955566406 × 65536)
    floor (22622.5)     		tx = 22622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727210998535156 × 216)
    floor (0.727210998535156 × 65536)
    floor (47658.5)     		ty = 47658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22622 / 47658 ti = "16/22622/47658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22622/47658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22622 ÷ 216
    22622 ÷ 65536     		x = 0.345184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47658 ÷ 216
    47658 ÷ 65536     		y = 0.727203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.30963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97273557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.45440673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42756087068527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97273557} λ = -0.97273557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42756087068527))-π/2
    2×atan(0.239893340096892)-π/2
    2×0.235444127388386-π/2
    0.470888254776772-1.57079632675     		φ = -1.09990807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97273557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.733643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09990807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.020090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22622 KachelY 47658 -0.97273557 -1.09990807 -55.733643 -63.020090
    Oben rechts KachelX + 1 22623 KachelY 47658 -0.97263969 -1.09990807 -55.728149 -63.020090
    Unten links KachelX 22622 KachelY + 1 47659 -0.97273557 -1.09995157 -55.733643 -63.022583
    Unten rechts KachelX + 1 22623 KachelY + 1 47659 -0.97263969 -1.09995157 -55.728149 -63.022583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09990807--1.09995157) × R
    4.35000000000851e-05 × 6371000     		dl = 277.138500000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09990807--1.09995157) × R
    4.35000000000851e-05 × 6371000     		dr = 277.138500000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97273557--0.97263969) × cos(-1.09990807) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.453678048201374 × 6371000     		do = 277.12990718746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97273557--0.97263969) × cos(-1.09995157) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.453639282066061 × 6371000     		du = 277.10622683633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09990807)-sin(-1.09995157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453678048201374-0.453639282066061)×R²
    abs(-0.97263969--0.97273557)×3.87661353123958e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.87661353123958e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.87661353123958e-05×40589641000000     		ar = 76800.0854267968m²