Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22622 / 47657
↖ ↑ ↗
← S 63.017598°
W 55.733643°		 ← 277.15 m → S 63.017598°
W 55.728149°		 →
↑
277.14 m
↓
↑
277.14 m
↓
S 63.020090°
W 55.733643°		 ← 277.13 m →
76 807 m²		 S 63.020090°
W 55.728149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345191955566406 y=0.727195739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345191955566406 × 216)
    floor (0.345191955566406 × 65536)
    floor (22622.5)     		tx = 22622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727195739746094 × 216)
    floor (0.727195739746094 × 65536)
    floor (47657.5)     		ty = 47657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22622 / 47657 ti = "16/22622/47657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22622/47657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22622 ÷ 216
    22622 ÷ 65536     		x = 0.345184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47657 ÷ 216
    47657 ÷ 65536     		y = 0.727188110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.30963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97273557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727188110351562 × 2 - 1) × π
    -0.454376220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42746499688603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97273557} λ = -0.97273557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42746499688603))-π/2
    2×atan(0.239916340685378)-π/2
    2×0.235465876236441-π/2
    0.470931752472881-1.57079632675     		φ = -1.09986457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97273557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.733643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09986457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.017598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22622 KachelY 47657 -0.97273557 -1.09986457 -55.733643 -63.017598
    Oben rechts KachelX + 1 22623 KachelY 47657 -0.97263969 -1.09986457 -55.728149 -63.017598
    Unten links KachelX 22622 KachelY + 1 47658 -0.97273557 -1.09990807 -55.733643 -63.020090
    Unten rechts KachelX + 1 22623 KachelY + 1 47658 -0.97263969 -1.09990807 -55.728149 -63.020090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09986457--1.09990807) × R
    4.34999999998631e-05 × 6371000     		dl = 277.138499999128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09986457--1.09990807) × R
    4.34999999998631e-05 × 6371000     		dr = 277.138499999128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97273557--0.97263969) × cos(-1.09986457) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.453716813478214 × 6371000     		do = 277.15358701419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97273557--0.97263969) × cos(-1.09990807) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.453678048201374 × 6371000     		du = 277.12990718746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09986457)-sin(-1.09990807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453716813478214-0.453678048201374)×R²
    abs(-0.97263969--0.97273557)×3.87652768398805e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.87652768398805e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.87652768398805e-05×40589641000000     		ar = 76806.6480906512m²