Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2262 / 6454
↖ ↑ ↗
← S 71.385142°
W 80.595703°		 ← 1 559.79 m → S 71.385142°
W 80.551758°		 →
↑
1 559.17 m
↓
↑
1 559.17 m
↓
S 71.399164°
W 80.595703°		 ← 1 558.66 m →
2 431 107 m²		 S 71.399164°
W 80.551758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27618408203125 y=0.78790283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27618408203125 × 213)
    floor (0.27618408203125 × 8192)
    floor (2262.5)     		tx = 2262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78790283203125 × 213)
    floor (0.78790283203125 × 8192)
    floor (6454.5)     		ty = 6454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2262 / 6454 ti = "13/2262/6454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2262/6454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2262 ÷ 213
    2262 ÷ 8192     		x = 0.276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6454 ÷ 213
    6454 ÷ 8192     		y = 0.787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.44775390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40666038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.57568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80856334886548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40666038} λ = -1.40666038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80856334886548))-π/2
    2×atan(0.163889419673244)-π/2
    2×0.162445280219812-π/2
    0.324890560439624-1.57079632675     		φ = -1.24590577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40666038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.595703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24590577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.385142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2262 KachelY 6454 -1.40666038 -1.24590577 -80.595703 -71.385142
    Oben rechts KachelX + 1 2263 KachelY 6454 -1.40589339 -1.24590577 -80.551758 -71.385142
    Unten links KachelX 2262 KachelY + 1 6455 -1.40666038 -1.24615050 -80.595703 -71.399164
    Unten rechts KachelX + 1 2263 KachelY + 1 6455 -1.40589339 -1.24615050 -80.551758 -71.399164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24590577--1.24615050) × R
    0.000244729999999915 × 6371000     		dl = 1559.17482999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24590577--1.24615050) × R
    0.000244729999999915 × 6371000     		dr = 1559.17482999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40666038--1.40589339) × cos(-1.24590577) × R
    0.000766990000000023 × 0.31920507001208 × 6371000     		do = 1559.79343274805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40666038--1.40589339) × cos(-1.24615050) × R
    0.000766990000000023 × 0.318973133342092 × 6371000     		du = 1558.66007576646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24590577)-sin(-1.24615050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31920507001208-0.318973133342092)×R²
    abs(-1.40589339--1.40666038)×0.000231936669987554×R²
    0.000766990000000023×0.000231936669987554×6371000²
    0.000766990000000023×0.000231936669987554×40589641000000     		ar = 2431107.12163477m²