Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22619 / 47442
↖ ↑ ↗
← S 62.476801°
W 55.750122°		 ← 282.28 m → S 62.476801°
W 55.744629°		 →
↑
282.30 m
↓
↑
282.30 m
↓
S 62.479340°
W 55.750122°		 ← 282.26 m →
79 684 m²		 S 62.479340°
W 55.744629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345146179199219 y=0.723915100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345146179199219 × 216)
    floor (0.345146179199219 × 65536)
    floor (22619.5)     		tx = 22619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723915100097656 × 216)
    floor (0.723915100097656 × 65536)
    floor (47442.5)     		ty = 47442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22619 / 47442 ti = "16/22619/47442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22619/47442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22619 ÷ 216
    22619 ÷ 65536     		x = 0.345138549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47442 ÷ 216
    47442 ÷ 65536     		y = 0.723907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345138549804688 × 2 - 1) × π
    -0.309722900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97302319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.44781494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40685213004941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97302319} λ = -0.97302319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40685213004941))-π/2
    2×atan(0.244913025346655)-π/2
    2×0.240185221507088-π/2
    0.480370443014176-1.57079632675     		φ = -1.09042588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97302319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.750122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09042588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.476801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22619 KachelY 47442 -0.97302319 -1.09042588 -55.750122 -62.476801
    Oben rechts KachelX + 1 22620 KachelY 47442 -0.97292731 -1.09042588 -55.744629 -62.476801
    Unten links KachelX 22619 KachelY + 1 47443 -0.97302319 -1.09047019 -55.750122 -62.479340
    Unten rechts KachelX + 1 22620 KachelY + 1 47443 -0.97292731 -1.09047019 -55.744629 -62.479340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09042588--1.09047019) × R
    4.43100000000474e-05 × 6371000     		dl = 282.299010000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09042588--1.09047019) × R
    4.43100000000474e-05 × 6371000     		dr = 282.299010000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97302319--0.97292731) × cos(-1.09042588) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.462107728275032 × 6371000     		do = 282.279189736383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97302319--0.97292731) × cos(-1.09047019) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.46206843265894 × 6371000     		du = 282.255185951136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09042588)-sin(-1.09047019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462107728275032-0.46206843265894)×R²
    abs(-0.97292731--0.97302319)×3.92956160914504e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.92956160914504e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.92956160914504e-05×40589641000000     		ar = 79683.7476968918m²