Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 22618 / 10442
↖ ↑ ↗
← N 54.508327°
E 68.488770°		 ← 709.26 m → N 54.508327°
E 68.499756°		 →
↑
709.35 m
↓
↑
709.35 m
↓
N 54.501947°
E 68.488770°		 ← 709.38 m →
503 154 m²		 N 54.501947°
E 68.499756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690261840820312 y=0.318679809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690261840820312 × 215)
    floor (0.690261840820312 × 32768)
    floor (22618.5)     		tx = 22618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318679809570312 × 215)
    floor (0.318679809570312 × 32768)
    floor (10442.5)     		ty = 10442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22618 / 10442 ti = "15/22618/10442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22618/10442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22618 ÷ 215
    22618 ÷ 32768     		x = 0.69024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10442 ÷ 215
    10442 ÷ 32768     		y = 0.31866455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69024658203125 × 2 - 1) × π
    0.3804931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19535453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31866455078125 × 2 - 1) × π
    0.3626708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13936423016949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19535453} λ = 1.19535453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13936423016949))-π/2
    2×atan(3.1247810919837)-π/2
    2×1.26107304697907-π/2
    2.52214609395814-1.57079632675     		φ = 0.95134977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19535453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.488770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95134977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.508327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22618 KachelY 10442 1.19535453 0.95134977 68.488770 54.508327
    Oben rechts KachelX + 1 22619 KachelY 10442 1.19554628 0.95134977 68.499756 54.508327
    Unten links KachelX 22618 KachelY + 1 10443 1.19535453 0.95123843 68.488770 54.501947
    Unten rechts KachelX + 1 22619 KachelY + 1 10443 1.19554628 0.95123843 68.499756 54.501947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95134977-0.95123843) × R
    0.000111340000000015 × 6371000     		dl = 709.347140000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95134977-0.95123843) × R
    0.000111340000000015 × 6371000     		dr = 709.347140000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19535453-1.19554628) × cos(0.95134977) × R
    0.000191750000000157 × 0.580584636073327 × 6371000     		do = 709.264979374723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19535453-1.19554628) × cos(0.95123843) × R
    0.000191750000000157 × 0.580675285491588 × 6371000     		du = 709.37572026206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95134977)-sin(0.95123843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580584636073327-0.580675285491588)×R²
    abs(1.19554628-1.19535453)×9.06494182606465e-05×R²
    0.000191750000000157×9.06494182606465e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.06494182606465e-05×40589641000000     		ar = 503154.362007264m²