Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2261 / 6576
↖ ↑ ↗
← S 73.022592°
W 80.639648°		 ← 1 426.83 m → S 73.022592°
W 80.595703°		 →
↑
1 426.34 m
↓
↑
1 426.34 m
↓
S 73.035419°
W 80.639648°		 ← 1 425.78 m →
2 034 397 m²		 S 73.035419°
W 80.595703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27606201171875 y=0.80279541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27606201171875 × 213)
    floor (0.27606201171875 × 8192)
    floor (2261.5)     		tx = 2261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80279541015625 × 213)
    floor (0.80279541015625 × 8192)
    floor (6576.5)     		ty = 6576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2261 / 6576 ti = "13/2261/6576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2261/6576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2261 ÷ 213
    2261 ÷ 8192     		x = 0.2760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6576 ÷ 213
    6576 ÷ 8192     		y = 0.802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40742737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802734375 × 2 - 1) × π
    -0.60546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40742737} λ = -1.40742737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90213617692383))-π/2
    2×atan(0.149249455206495)-π/2
    2×0.148155837774754-π/2
    0.296311675549507-1.57079632675     		φ = -1.27448465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40742737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.639648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27448465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.022592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2261 KachelY 6576 -1.40742737 -1.27448465 -80.639648 -73.022592
    Oben rechts KachelX + 1 2262 KachelY 6576 -1.40666038 -1.27448465 -80.595703 -73.022592
    Unten links KachelX 2261 KachelY + 1 6577 -1.40742737 -1.27470853 -80.639648 -73.035419
    Unten rechts KachelX + 1 2262 KachelY + 1 6577 -1.40666038 -1.27470853 -80.595703 -73.035419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27448465--1.27470853) × R
    0.000223880000000065 × 6371000     		dl = 1426.33948000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27448465--1.27470853) × R
    0.000223880000000065 × 6371000     		dr = 1426.33948000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40742737--1.40666038) × cos(-1.27448465) × R
    0.000766990000000023 × 0.291994614822817 × 6371000     		do = 1426.82972604787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40742737--1.40666038) × cos(-1.27470853) × R
    0.000766990000000023 × 0.291780484205658 × 6371000     		du = 1425.78337822394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27448465)-sin(-1.27470853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291994614822817-0.291780484205658)×R²
    abs(-1.40666038--1.40742737)×0.000214130617158803×R²
    0.000766990000000023×0.000214130617158803×6371000²
    0.000766990000000023×0.000214130617158803×40589641000000     		ar = 2034397.35439249m²