Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2261 / 6575
↖ ↑ ↗
← S 73.009755°
W 80.639648°		 ← 1 427.88 m → S 73.009755°
W 80.595703°		 →
↑
1 427.36 m
↓
↑
1 427.36 m
↓
S 73.022592°
W 80.639648°		 ← 1 426.83 m →
2 037 345 m²		 S 73.022592°
W 80.595703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27606201171875 y=0.80267333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27606201171875 × 213)
    floor (0.27606201171875 × 8192)
    floor (2261.5)     		tx = 2261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80267333984375 × 213)
    floor (0.80267333984375 × 8192)
    floor (6575.5)     		ty = 6575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2261 / 6575 ti = "13/2261/6575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2261/6575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2261 ÷ 213
    2261 ÷ 8192     		x = 0.2760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6575 ÷ 213
    6575 ÷ 8192     		y = 0.8026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40742737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8026123046875 × 2 - 1) × π
    -0.605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90136918652991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40742737} λ = -1.40742737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90136918652991))-π/2
    2×atan(0.149363972015969)-π/2
    2×0.148267857387489-π/2
    0.296535714774979-1.57079632675     		φ = -1.27426061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40742737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.639648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27426061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.009755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2261 KachelY 6575 -1.40742737 -1.27426061 -80.639648 -73.009755
    Oben rechts KachelX + 1 2262 KachelY 6575 -1.40666038 -1.27426061 -80.595703 -73.009755
    Unten links KachelX 2261 KachelY + 1 6576 -1.40742737 -1.27448465 -80.639648 -73.022592
    Unten rechts KachelX + 1 2262 KachelY + 1 6576 -1.40666038 -1.27448465 -80.595703 -73.022592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27426061--1.27448465) × R
    0.000224039999999981 × 6371000     		dl = 1427.35883999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27426061--1.27448465) × R
    0.000224039999999981 × 6371000     		dr = 1427.35883999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40742737--1.40666038) × cos(-1.27426061) × R
    0.000766990000000023 × 0.292208883821274 × 6371000     		do = 1427.87675007109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40742737--1.40666038) × cos(-1.27448465) × R
    0.000766990000000023 × 0.291994614822817 × 6371000     		du = 1426.82972604787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27426061)-sin(-1.27448465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292208883821274-0.291994614822817)×R²
    abs(-1.40666038--1.40742737)×0.000214268998457334×R²
    0.000766990000000023×0.000214268998457334×6371000²
    0.000766990000000023×0.000214268998457334×40589641000000     		ar = 2037345.27067008m²