Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2261 / 6452
↖ ↑ ↗
← S 71.357067°
W 80.639648°		 ← 1 562.06 m → S 71.357067°
W 80.595703°		 →
↑
1 561.47 m
↓
↑
1 561.47 m
↓
S 71.371109°
W 80.639648°		 ← 1 560.93 m →
2 438 225 m²		 S 71.371109°
W 80.595703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27606201171875 y=0.78765869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27606201171875 × 213)
    floor (0.27606201171875 × 8192)
    floor (2261.5)     		tx = 2261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78765869140625 × 213)
    floor (0.78765869140625 × 8192)
    floor (6452.5)     		ty = 6452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2261 / 6452 ti = "13/2261/6452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2261/6452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2261 ÷ 213
    2261 ÷ 8192     		x = 0.2760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6452 ÷ 213
    6452 ÷ 8192     		y = 0.78759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40742737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78759765625 × 2 - 1) × π
    -0.5751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80702936807764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40742737} λ = -1.40742737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80702936807764))-π/2
    2×atan(0.164141015816843)-π/2
    2×0.162690285477853-π/2
    0.325380570955705-1.57079632675     		φ = -1.24541576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40742737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.639648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24541576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.357067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2261 KachelY 6452 -1.40742737 -1.24541576 -80.639648 -71.357067
    Oben rechts KachelX + 1 2262 KachelY 6452 -1.40666038 -1.24541576 -80.595703 -71.357067
    Unten links KachelX 2261 KachelY + 1 6453 -1.40742737 -1.24566085 -80.639648 -71.371109
    Unten rechts KachelX + 1 2262 KachelY + 1 6453 -1.40666038 -1.24566085 -80.595703 -71.371109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24541576--1.24566085) × R
    0.000245089999999948 × 6371000     		dl = 1561.46838999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24541576--1.24566085) × R
    0.000245089999999948 × 6371000     		dr = 1561.46838999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40742737--1.40666038) × cos(-1.24541576) × R
    0.000766990000000023 × 0.31966940712501 × 6371000     		do = 1562.06241293469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40742737--1.40666038) × cos(-1.24566085) × R
    0.000766990000000023 × 0.319437167609414 × 6371000     		du = 1560.92757610005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24541576)-sin(-1.24566085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31966940712501-0.319437167609414)×R²
    abs(-1.40666038--1.40742737)×0.0002322395155962×R²
    0.000766990000000023×0.0002322395155962×6371000²
    0.000766990000000023×0.0002322395155962×40589641000000     		ar = 2438225.08728729m²