Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22605 / 47421
↖ ↑ ↗
← S 62.423446°
W 55.827026°		 ← 282.75 m → S 62.423446°
W 55.821533°		 →
↑
282.74 m
↓
↑
282.74 m
↓
S 62.425989°
W 55.827026°		 ← 282.73 m →
79 944 m²		 S 62.425989°
W 55.821533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344932556152344 y=0.723594665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344932556152344 × 216)
    floor (0.344932556152344 × 65536)
    floor (22605.5)     		tx = 22605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723594665527344 × 216)
    floor (0.723594665527344 × 65536)
    floor (47421.5)     		ty = 47421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22605 / 47421 ti = "16/22605/47421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22605/47421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22605 ÷ 216
    22605 ÷ 65536     		x = 0.344924926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47421 ÷ 216
    47421 ÷ 65536     		y = 0.723587036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344924926757812 × 2 - 1) × π
    -0.310150146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97436542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723587036132812 × 2 - 1) × π
    -0.447174072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40483878026537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97436542} λ = -0.97436542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40483878026537))-π/2
    2×atan(0.245406617653593)-π/2
    2×0.24065082922843-π/2
    0.481301658456859-1.57079632675     		φ = -1.08949467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97436542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.827026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08949467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.423446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22605 KachelY 47421 -0.97436542 -1.08949467 -55.827026 -62.423446
    Oben rechts KachelX + 1 22606 KachelY 47421 -0.97426955 -1.08949467 -55.821533 -62.423446
    Unten links KachelX 22605 KachelY + 1 47422 -0.97436542 -1.08953905 -55.827026 -62.425989
    Unten rechts KachelX + 1 22606 KachelY + 1 47422 -0.97426955 -1.08953905 -55.821533 -62.425989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08949467--1.08953905) × R
    4.4379999999844e-05 × 6371000     		dl = 282.744979999006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08949467--1.08953905) × R
    4.4379999999844e-05 × 6371000     		dr = 282.744979999006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97436542--0.97426955) × cos(-1.08949467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462933346985149 × 6371000     		do = 282.754026663689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97436542--0.97426955) × cos(-1.08953905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462894008403778 × 6371000     		du = 282.729999139299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08949467)-sin(-1.08953905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462933346985149-0.462894008403778)×R²
    abs(-0.97426955--0.97436542)×3.93385813707292e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93385813707292e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93385813707292e-05×40589641000000     		ar = 79943.8847959723m²