Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22604 / 47402
↖ ↑ ↗
← S 62.375091°
W 55.832520°		 ← 283.24 m → S 62.375091°
W 55.827026°		 →
↑
283.19 m
↓
↑
283.19 m
↓
S 62.377638°
W 55.832520°		 ← 283.22 m →
80 208 m²		 S 62.377638°
W 55.827026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344917297363281 y=0.723304748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344917297363281 × 216)
    floor (0.344917297363281 × 65536)
    floor (22604.5)     		tx = 22604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723304748535156 × 216)
    floor (0.723304748535156 × 65536)
    floor (47402.5)     		ty = 47402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22604 / 47402 ti = "16/22604/47402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22604/47402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22604 ÷ 216
    22604 ÷ 65536     		x = 0.34490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47402 ÷ 216
    47402 ÷ 65536     		y = 0.723297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.3101806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97446130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723297119140625 × 2 - 1) × π
    -0.44659423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4030171780798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97446130} λ = -0.97446130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4030171780798))-π/2
    2×atan(0.245854058290357)-π/2
    2×0.241072809963155-π/2
    0.482145619926309-1.57079632675     		φ = -1.08865071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97446130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.832520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08865071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.375091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22604 KachelY 47402 -0.97446130 -1.08865071 -55.832520 -62.375091
    Oben rechts KachelX + 1 22605 KachelY 47402 -0.97436542 -1.08865071 -55.827026 -62.375091
    Unten links KachelX 22604 KachelY + 1 47403 -0.97446130 -1.08869516 -55.832520 -62.377638
    Unten rechts KachelX + 1 22605 KachelY + 1 47403 -0.97436542 -1.08869516 -55.827026 -62.377638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08865071--1.08869516) × R
    4.44500000000847e-05 × 6371000     		dl = 283.19095000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08865071--1.08869516) × R
    4.44500000000847e-05 × 6371000     		dr = 283.19095000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97446130--0.97436542) × cos(-1.08865071) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.463681262345148 × 6371000     		do = 283.240385351616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97446130--0.97436542) × cos(-1.08869516) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.463641879094604 × 6371000     		du = 283.216328034734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08865071)-sin(-1.08869516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463681262345148-0.463641879094604)×R²
    abs(-0.97436542--0.97446130)×3.93832505441449e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.93832505441449e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.93832505441449e-05×40589641000000     		ar = 80207.7074122851m²