Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22603 / 47611
↖ ↑ ↗
← S 62.902725°
W 55.838013°		 ← 278.22 m → S 62.902725°
W 55.832520°		 →
↑
278.22 m
↓
↑
278.22 m
↓
S 62.905227°
W 55.838013°		 ← 278.19 m →
77 402 m²		 S 62.905227°
W 55.832520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344902038574219 y=0.726493835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344902038574219 × 216)
    floor (0.344902038574219 × 65536)
    floor (22603.5)     		tx = 22603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726493835449219 × 216)
    floor (0.726493835449219 × 65536)
    floor (47611.5)     		ty = 47611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22603 / 47611 ti = "16/22603/47611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22603/47611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22603 ÷ 216
    22603 ÷ 65536     		x = 0.344894409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47611 ÷ 216
    47611 ÷ 65536     		y = 0.726486206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344894409179688 × 2 - 1) × π
    -0.310211181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97455717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726486206054688 × 2 - 1) × π
    -0.452972412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42305480212099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97455717} λ = -0.97455717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42305480212099))-π/2
    2×atan(0.240976755073371)-π/2
    2×0.236468333918861-π/2
    0.472936667837722-1.57079632675     		φ = -1.09785966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97455717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.838013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09785966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.902725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22603 KachelY 47611 -0.97455717 -1.09785966 -55.838013 -62.902725
    Oben rechts KachelX + 1 22604 KachelY 47611 -0.97446130 -1.09785966 -55.832520 -62.902725
    Unten links KachelX 22603 KachelY + 1 47612 -0.97455717 -1.09790333 -55.838013 -62.905227
    Unten rechts KachelX + 1 22604 KachelY + 1 47612 -0.97446130 -1.09790333 -55.832520 -62.905227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09785966--1.09790333) × R
    4.36700000001622e-05 × 6371000     		dl = 278.221570001033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09785966--1.09790333) × R
    4.36700000001622e-05 × 6371000     		dr = 278.221570001033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97455717--0.97446130) × cos(-1.09785966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455502567756163 × 6371000     		do = 278.215397589055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97455717--0.97446130) × cos(-1.09790333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455463690782553 × 6371000     		du = 278.191652009039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09785966)-sin(-1.09790333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455502567756163-0.455463690782553)×R²
    abs(-0.97446130--0.97455717)×3.88769736102135e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88769736102135e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88769736102135e-05×40589641000000     		ar = 77402.2214619711m²