Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22602 / 47430
↖ ↑ ↗
← S 62.446324°
W 55.843506°		 ← 282.54 m → S 62.446324°
W 55.838013°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
S 62.448865°
W 55.843506°		 ← 282.51 m →
79 829 m²		 S 62.448865°
W 55.838013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344886779785156 y=0.723731994628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344886779785156 × 216)
    floor (0.344886779785156 × 65536)
    floor (22602.5)     		tx = 22602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723731994628906 × 216)
    floor (0.723731994628906 × 65536)
    floor (47430.5)     		ty = 47430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22602 / 47430 ti = "16/22602/47430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22602/47430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22602 ÷ 216
    22602 ÷ 65536     		x = 0.344879150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47430 ÷ 216
    47430 ÷ 65536     		y = 0.723724365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.31024169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97465304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.44744873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40570164445853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97465304} λ = -0.97465304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40570164445853))-π/2
    2×atan(0.245194956401045)-π/2
    2×0.24045118128742-π/2
    0.48090236257484-1.57079632675     		φ = -1.08989396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97465304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.843506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08989396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.446324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22602 KachelY 47430 -0.97465304 -1.08989396 -55.843506 -62.446324
    Oben rechts KachelX + 1 22603 KachelY 47430 -0.97455717 -1.08989396 -55.838013 -62.446324
    Unten links KachelX 22602 KachelY + 1 47431 -0.97465304 -1.08993831 -55.843506 -62.448865
    Unten rechts KachelX + 1 22603 KachelY + 1 47431 -0.97455717 -1.08993831 -55.838013 -62.448865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08989396--1.08993831) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dl = 282.553850000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08989396--1.08993831) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dr = 282.553850000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97465304--0.97455717) × cos(-1.08989396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462579382192929 × 6371000     		do = 282.537829297591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97465304--0.97455717) × cos(-1.08993831) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462540062009588 × 6371000     		du = 282.513813010492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08989396)-sin(-1.08993831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462579382192929-0.462540062009588)×R²
    abs(-0.97455717--0.97465304)×3.93201833404078e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93201833404078e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93201833404078e-05×40589641000000     		ar = 79828.758504643m²