Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22601 / 47656
↖ ↑ ↗
← S 63.015106°
W 55.848999°		 ← 277.18 m → S 63.015106°
W 55.843506°		 →
↑
277.14 m
↓
↑
277.14 m
↓
S 63.017598°
W 55.848999°		 ← 277.15 m →
76 813 m²		 S 63.017598°
W 55.843506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344871520996094 y=0.727180480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344871520996094 × 216)
    floor (0.344871520996094 × 65536)
    floor (22601.5)     		tx = 22601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727180480957031 × 216)
    floor (0.727180480957031 × 65536)
    floor (47656.5)     		ty = 47656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22601 / 47656 ti = "16/22601/47656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22601/47656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22601 ÷ 216
    22601 ÷ 65536     		x = 0.344863891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47656 ÷ 216
    47656 ÷ 65536     		y = 0.7271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344863891601562 × 2 - 1) × π
    -0.310272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97474892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.454345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42736912308679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97474892} λ = -0.97474892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42736912308679))-π/2
    2×atan(0.239939343479125)-π/2
    2×0.235487626942743-π/2
    0.470975253885486-1.57079632675     		φ = -1.09982107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97474892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.848999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09982107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.015106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22601 KachelY 47656 -0.97474892 -1.09982107 -55.848999 -63.015106
    Oben rechts KachelX + 1 22602 KachelY 47656 -0.97465304 -1.09982107 -55.843506 -63.015106
    Unten links KachelX 22601 KachelY + 1 47657 -0.97474892 -1.09986457 -55.848999 -63.017598
    Unten rechts KachelX + 1 22602 KachelY + 1 47657 -0.97465304 -1.09986457 -55.843506 -63.017598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09982107--1.09986457) × R
    4.35000000000851e-05 × 6371000     		dl = 277.138500000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09982107--1.09986457) × R
    4.35000000000851e-05 × 6371000     		dr = 277.138500000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97474892--0.97465304) × cos(-1.09982107) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.453755577896508 × 6371000     		do = 277.177266316476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97474892--0.97465304) × cos(-1.09986457) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.453716813478214 × 6371000     		du = 277.15358701419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09982107)-sin(-1.09986457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453755577896508-0.453716813478214)×R²
    abs(-0.97465304--0.97474892)×3.87644182944236e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.87644182944236e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.87644182944236e-05×40589641000000     		ar = 76813.2106101944m²