Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2260 / 918
↖ ↑ ↗
← N 82.967281°
W130.341797°		 ← 299.15 m → N 82.967281°
W130.319824°		 →
↑
299.25 m
↓
↑
299.25 m
↓
N 82.964590°
W130.341797°		 ← 299.26 m →
89 535 m²		 N 82.964590°
W130.319824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137969970703125 y=0.056060791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137969970703125 × 214)
    floor (0.137969970703125 × 16384)
    floor (2260.5)     		tx = 2260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.056060791015625 × 214)
    floor (0.056060791015625 × 16384)
    floor (918.5)     		ty = 918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2260 / 918 ti = "14/2260/918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2260/918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2260 ÷ 214
    2260 ÷ 16384     		x = 0.137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 918 ÷ 214
    918 ÷ 16384     		y = 0.0560302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137939453125 × 2 - 1) × π
    -0.72412109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27489351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0560302734375 × 2 - 1) × π
    0.887939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.78954406269031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27489351} λ = -2.27489351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.78954406269031))-π/2
    2×atan(16.2735983694035)-π/2
    2×1.50942427174958-π/2
    3.01884854349916-1.57079632675     		φ = 1.44805222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27489351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.341797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44805222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.967281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2260 KachelY 918 -2.27489351 1.44805222 -130.341797 82.967281
    Oben rechts KachelX + 1 2261 KachelY 918 -2.27451001 1.44805222 -130.319824 82.967281
    Unten links KachelX 2260 KachelY + 1 919 -2.27489351 1.44800525 -130.341797 82.964590
    Unten rechts KachelX + 1 2261 KachelY + 1 919 -2.27451001 1.44800525 -130.319824 82.964590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44805222-1.44800525) × R
    4.69699999998685e-05 × 6371000     		dl = 299.245869999162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44805222-1.44800525) × R
    4.69699999998685e-05 × 6371000     		dr = 299.245869999162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27489351--2.27451001) × cos(1.44805222) × R
    0.00038349999999987 × 0.12243612606997 × 6371000     		do = 299.145554449945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27489351--2.27451001) × cos(1.44800525) × R
    0.00038349999999987 × 0.122482742551177 × 6371000     		du = 299.259451496225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44805222)-sin(1.44800525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12243612606997-0.122482742551177)×R²
    abs(-2.27451001--2.27489351)×4.661648120724e-05×R²
    0.00038349999999987×4.661648120724e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.661648120724e-05×40589641000000     		ar = 89535.1133243067m²