Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 226 / 110
↖ ↑ ↗
← N 71.074057°
W 21.093750°		 ← 25.359 km → N 71.074057°
W 20.390625°		 →
↑
25.506 km
↓
↑
25.506 km
↓
N 70.844672°
W 21.093750°		 ← 25.655 km →
650.581 km²		 N 70.844672°
W 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4423828125 y=0.2158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4423828125 × 29)
    floor (0.4423828125 × 512)
    floor (226.5)     		tx = 226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2158203125 × 29)
    floor (0.2158203125 × 512)
    floor (110.5)     		ty = 110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 226 / 110 ti = "9/226/110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/226/110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 226 ÷ 29
    226 ÷ 512     		x = 0.44140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 110 ÷ 29
    110 ÷ 512     		y = 0.21484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44140625 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21484375 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79168956019922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36815539} λ = -0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79168956019922))-π/2
    2×atan(5.99958056048846)-π/2
    2×1.40563631240615-π/2
    2.81127262481229-1.57079632675     		φ = 1.24047630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24047630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 226 KachelY 110 -0.36815539 1.24047630 -21.093750 71.074057
    Oben rechts KachelX + 1 227 KachelY 110 -0.35588354 1.24047630 -20.390625 71.074057
    Unten links KachelX 226 KachelY + 1 111 -0.36815539 1.23647279 -21.093750 70.844672
    Unten rechts KachelX + 1 227 KachelY + 1 111 -0.35588354 1.23647279 -20.390625 70.844672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24047630-1.23647279) × R
    0.00400350999999999 × 6371000     		dl = 25506.3622099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24047630-1.23647279) × R
    0.00400350999999999 × 6371000     		dr = 25506.3622099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36815539--0.35588354) × cos(1.24047630) × R
    0.01227185 × 0.324345770694955 × 6371000     		do = 25358.6355783215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36815539--0.35588354) × cos(1.23647279) × R
    0.01227185 × 0.328130235874851 × 6371000     		du = 25654.5200387546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24047630)-sin(1.23647279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324345770694955-0.328130235874851)×R²
    abs(-0.35588354--0.36815539)×0.00378446517989656×R²
    0.01227185×0.00378446517989656×6371000²
    0.01227185×0.00378446517989656×40589641000000     		ar = 650580881.286539m²