Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22599 / 47641
↖ ↑ ↗
← S 62.977694°
W 55.859985°		 ← 277.50 m → S 62.977694°
W 55.854492°		 →
↑
277.46 m
↓
↑
277.46 m
↓
S 62.980189°
W 55.859985°		 ← 277.48 m →
76 992 m²		 S 62.980189°
W 55.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344841003417969 y=0.726951599121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344841003417969 × 216)
    floor (0.344841003417969 × 65536)
    floor (22599.5)     		tx = 22599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726951599121094 × 216)
    floor (0.726951599121094 × 65536)
    floor (47641.5)     		ty = 47641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22599 / 47641 ti = "16/22599/47641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22599/47641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22599 ÷ 216
    22599 ÷ 65536     		x = 0.344833374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47641 ÷ 216
    47641 ÷ 65536     		y = 0.726943969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344833374023438 × 2 - 1) × π
    -0.310333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97494066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726943969726562 × 2 - 1) × π
    -0.453887939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42593101609819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97494066} λ = -0.97494066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42593101609819))-π/2
    2×atan(0.240284650160286)-π/2
    2×0.235814110606951-π/2
    0.471628221213901-1.57079632675     		φ = -1.09916811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97494066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.859985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09916811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.977694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22599 KachelY 47641 -0.97494066 -1.09916811 -55.859985 -62.977694
    Oben rechts KachelX + 1 22600 KachelY 47641 -0.97484479 -1.09916811 -55.854492 -62.977694
    Unten links KachelX 22599 KachelY + 1 47642 -0.97494066 -1.09921166 -55.859985 -62.980189
    Unten rechts KachelX + 1 22600 KachelY + 1 47642 -0.97484479 -1.09921166 -55.854492 -62.980189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09916811--1.09921166) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dl = 277.457050000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09916811--1.09921166) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dr = 277.457050000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97494066--0.97484479) × cos(-1.09916811) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454337350877286 × 6371000     		do = 277.503697370039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97494066--0.97484479) × cos(-1.09921166) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454298554812594 × 6371000     		du = 277.480001208201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09916811)-sin(-1.09921166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454337350877286-0.454298554812594)×R²
    abs(-0.97484479--0.97494066)×3.87960646917596e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87960646917596e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87960646917596e-05×40589641000000     		ar = 76992.0699146796m²