Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22597 / 47471
↖ ↑ ↗
← S 62.550325°
W 55.870972°		 ← 281.55 m → S 62.550325°
W 55.865479°		 →
↑
281.53 m
↓
↑
281.53 m
↓
S 62.552857°
W 55.870972°		 ← 281.53 m →
79 264 m²		 S 62.552857°
W 55.865479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344810485839844 y=0.724357604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344810485839844 × 216)
    floor (0.344810485839844 × 65536)
    floor (22597.5)     		tx = 22597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724357604980469 × 216)
    floor (0.724357604980469 × 65536)
    floor (47471.5)     		ty = 47471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22597 / 47471 ti = "16/22597/47471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22597/47471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22597 ÷ 216
    22597 ÷ 65536     		x = 0.344802856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47471 ÷ 216
    47471 ÷ 65536     		y = 0.724349975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344802856445312 × 2 - 1) × π
    -0.310394287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97513241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724349975585938 × 2 - 1) × π
    -0.448699951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40963247022737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97513241} λ = -0.97513241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40963247022737))-π/2
    2×atan(0.244233029570013)-π/2
    2×0.239543604679763-π/2
    0.479087209359525-1.57079632675     		φ = -1.09170912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97513241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.870972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09170912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.550325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22597 KachelY 47471 -0.97513241 -1.09170912 -55.870972 -62.550325
    Oben rechts KachelX + 1 22598 KachelY 47471 -0.97503654 -1.09170912 -55.865479 -62.550325
    Unten links KachelX 22597 KachelY + 1 47472 -0.97513241 -1.09175331 -55.870972 -62.552857
    Unten rechts KachelX + 1 22598 KachelY + 1 47472 -0.97503654 -1.09175331 -55.865479 -62.552857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09170912--1.09175331) × R
    4.41900000001105e-05 × 6371000     		dl = 281.534490000704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09170912--1.09175331) × R
    4.41900000001105e-05 × 6371000     		dr = 281.534490000704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97513241--0.97503654) × cos(-1.09170912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.460969340340226 × 6371000     		do = 281.554435424772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97513241--0.97503654) × cos(-1.09175331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.460930124974375 × 6371000     		du = 281.530483158913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09170912)-sin(-1.09175331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460969340340226-0.460930124974375)×R²
    abs(-0.97503654--0.97513241)×3.92153658517191e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92153658517191e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92153658517191e-05×40589641000000     		ar = 79263.9127029405m²