Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22595 / 47629
↖ ↑ ↗
← S 62.947729°
W 55.881958°		 ← 277.79 m → S 62.947729°
W 55.876465°		 →
↑
277.78 m
↓
↑
277.78 m
↓
S 62.950227°
W 55.881958°		 ← 277.76 m →
77 159 m²		 S 62.950227°
W 55.876465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344779968261719 y=0.726768493652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344779968261719 × 216)
    floor (0.344779968261719 × 65536)
    floor (22595.5)     		tx = 22595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726768493652344 × 216)
    floor (0.726768493652344 × 65536)
    floor (47629.5)     		ty = 47629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22595 / 47629 ti = "16/22595/47629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22595/47629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22595 ÷ 216
    22595 ÷ 65536     		x = 0.344772338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47629 ÷ 216
    47629 ÷ 65536     		y = 0.726760864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344772338867188 × 2 - 1) × π
    -0.310455322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97532416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726760864257812 × 2 - 1) × π
    -0.453521728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42478053050731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97532416} λ = -0.97532416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42478053050731))-π/2
    2×atan(0.240561253271443)-π/2
    2×0.23607559886013-π/2
    0.472151197720259-1.57079632675     		φ = -1.09864513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97532416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.881958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09864513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.947729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22595 KachelY 47629 -0.97532416 -1.09864513 -55.881958 -62.947729
    Oben rechts KachelX + 1 22596 KachelY 47629 -0.97522829 -1.09864513 -55.876465 -62.947729
    Unten links KachelX 22595 KachelY + 1 47630 -0.97532416 -1.09868873 -55.881958 -62.950227
    Unten rechts KachelX + 1 22596 KachelY + 1 47630 -0.97522829 -1.09868873 -55.876465 -62.950227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09864513--1.09868873) × R
    4.35999999999215e-05 × 6371000     		dl = 277.7755999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09864513--1.09868873) × R
    4.35999999999215e-05 × 6371000     		dr = 277.7755999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97532416--0.97522829) × cos(-1.09864513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454803174845135 × 6371000     		do = 277.788216952574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97532416--0.97522829) × cos(-1.09868873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454764344602604 × 6371000     		du = 277.76449991533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09864513)-sin(-1.09868873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454803174845135-0.454764344602604)×R²
    abs(-0.97522829--0.97532416)×3.8830242531096e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8830242531096e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8830242531096e-05×40589641000000     		ar = 77159.4946418695m²