Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22593 / 47653
↖ ↑ ↗
← S 63.007627°
W 55.892944°		 ← 277.25 m → S 63.007627°
W 55.887451°		 →
↑
277.20 m
↓
↑
277.20 m
↓
S 63.010120°
W 55.892944°		 ← 277.22 m →
76 851 m²		 S 63.010120°
W 55.887451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344749450683594 y=0.727134704589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344749450683594 × 216)
    floor (0.344749450683594 × 65536)
    floor (22593.5)     		tx = 22593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727134704589844 × 216)
    floor (0.727134704589844 × 65536)
    floor (47653.5)     		ty = 47653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22593 / 47653 ti = "16/22593/47653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22593/47653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22593 ÷ 216
    22593 ÷ 65536     		x = 0.344741821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47653 ÷ 216
    47653 ÷ 65536     		y = 0.727127075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344741821289062 × 2 - 1) × π
    -0.310516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97551591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727127075195312 × 2 - 1) × π
    -0.454254150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42708150168907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97551591} λ = -0.97551591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42708150168907))-π/2
    2×atan(0.240008365094035)-π/2
    2×0.235552890212312-π/2
    0.471105780424623-1.57079632675     		φ = -1.09969055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97551591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.892944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09969055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.007627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22593 KachelY 47653 -0.97551591 -1.09969055 -55.892944 -63.007627
    Oben rechts KachelX + 1 22594 KachelY 47653 -0.97542003 -1.09969055 -55.887451 -63.007627
    Unten links KachelX 22593 KachelY + 1 47654 -0.97551591 -1.09973406 -55.892944 -63.010120
    Unten rechts KachelX + 1 22594 KachelY + 1 47654 -0.97542003 -1.09973406 -55.887451 -63.010120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09969055--1.09973406) × R
    4.35100000000244e-05 × 6371000     		dl = 277.202210000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09969055--1.09973406) × R
    4.35100000000244e-05 × 6371000     		dr = 277.202210000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97551591--0.97542003) × cos(-1.09969055) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.453871883820723 × 6371000     		do = 277.248311962416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97551591--0.97542003) × cos(-1.09973406) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.453833113068033 × 6371000     		du = 277.224628790755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09969055)-sin(-1.09973406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453871883820723-0.453833113068033)×R²
    abs(-0.97542003--0.97551591)×3.87707526894876e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.87707526894876e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.87707526894876e-05×40589641000000     		ar = 76850.5622930843m²