Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22590 / 47718
↖ ↑ ↗
← S 63.169235°
W 55.909424°		 ← 275.71 m → S 63.169235°
W 55.903930°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
S 63.171714°
W 55.909424°		 ← 275.69 m →
76 003 m²		 S 63.171714°
W 55.903930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344703674316406 y=0.728126525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344703674316406 × 216)
    floor (0.344703674316406 × 65536)
    floor (22590.5)     		tx = 22590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728126525878906 × 216)
    floor (0.728126525878906 × 65536)
    floor (47718.5)     		ty = 47718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22590 / 47718 ti = "16/22590/47718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22590/47718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22590 ÷ 216
    22590 ÷ 65536     		x = 0.344696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47718 ÷ 216
    47718 ÷ 65536     		y = 0.728118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344696044921875 × 2 - 1) × π
    -0.31060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97580353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.45623779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43331329863968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97580353} λ = -0.97580353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43331329863968))-π/2
    2×atan(0.23851733242812)-π/2
    2×0.234142592647894-π/2
    0.468285185295787-1.57079632675     		φ = -1.10251114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97580353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.909424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10251114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.169235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22590 KachelY 47718 -0.97580353 -1.10251114 -55.909424 -63.169235
    Oben rechts KachelX + 1 22591 KachelY 47718 -0.97570765 -1.10251114 -55.903930 -63.169235
    Unten links KachelX 22590 KachelY + 1 47719 -0.97580353 -1.10255441 -55.909424 -63.171714
    Unten rechts KachelX + 1 22591 KachelY + 1 47719 -0.97570765 -1.10255441 -55.903930 -63.171714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10251114--1.10255441) × R
    4.32699999999286e-05 × 6371000     		dl = 275.673169999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10251114--1.10255441) × R
    4.32699999999286e-05 × 6371000     		dr = 275.673169999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97580353--0.97570765) × cos(-1.10251114) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.451356747179523 × 6371000     		do = 275.711937022416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97580353--0.97570765) × cos(-1.10255441) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.451318135049758 × 6371000     		du = 275.688350745804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10251114)-sin(-1.10255441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451356747179523-0.451318135049758)×R²
    abs(-0.97570765--0.97580353)×3.86121297640818e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.86121297640818e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.86121297640818e-05×40589641000000     		ar = 76003.1326458321m²