Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2259 / 915
↖ ↑ ↗
← N 82.975347°
W130.363769°		 ← 298.80 m → N 82.975347°
W130.341797°		 →
↑
298.86 m
↓
↑
298.86 m
↓
N 82.972659°
W130.363769°		 ← 298.91 m →
89 316 m²		 N 82.972659°
W130.341797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137908935546875 y=0.055877685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137908935546875 × 214)
    floor (0.137908935546875 × 16384)
    floor (2259.5)     		tx = 2259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.055877685546875 × 214)
    floor (0.055877685546875 × 16384)
    floor (915.5)     		ty = 915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2259 / 915 ti = "14/2259/915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2259/915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2259 ÷ 214
    2259 ÷ 16384     		x = 0.13787841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 915 ÷ 214
    915 ÷ 16384     		y = 0.05584716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.7242431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27527700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.05584716796875 × 2 - 1) × π
    0.8883056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.79069454828119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27527700} λ = -2.27527700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.79069454828119))-π/2
    2×atan(16.2923316839772)-π/2
    2×1.50949466205613-π/2
    3.01898932411226-1.57079632675     		φ = 1.44819300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27527700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.363769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44819300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.975347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2259 KachelY 915 -2.27527700 1.44819300 -130.363769 82.975347
    Oben rechts KachelX + 1 2260 KachelY 915 -2.27489351 1.44819300 -130.341797 82.975347
    Unten links KachelX 2259 KachelY + 1 916 -2.27527700 1.44814609 -130.363769 82.972659
    Unten rechts KachelX + 1 2260 KachelY + 1 916 -2.27489351 1.44814609 -130.341797 82.972659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44819300-1.44814609) × R
    4.69100000000111e-05 × 6371000     		dl = 298.863610000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44819300-1.44814609) × R
    4.69100000000111e-05 × 6371000     		dr = 298.863610000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27527700--2.27489351) × cos(1.44819300) × R
    0.000383489999999931 × 0.122296404030233 × 6371000     		do = 298.796383090428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27527700--2.27489351) × cos(1.44814609) × R
    0.000383489999999931 × 0.122342961771461 × 6371000     		du = 298.910133652385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44819300)-sin(1.44814609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.122296404030233-0.122342961771461)×R²
    abs(-2.27489351--2.27527700)×4.65577412278595e-05×R²
    0.000383489999999931×4.65577412278595e-05×6371000²
    0.000383489999999931×4.65577412278595e-05×40589641000000     		ar = 89316.3636741816m²