Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22587 / 47663
↖ ↑ ↗
← S 63.032548°
W 55.925903°		 ← 276.98 m → S 63.032548°
W 55.920410°		 →
↑
277.01 m
↓
↑
277.01 m
↓
S 63.035039°
W 55.925903°		 ← 276.96 m →
76 724 m²		 S 63.035039°
W 55.920410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344657897949219 y=0.727287292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344657897949219 × 216)
    floor (0.344657897949219 × 65536)
    floor (22587.5)     		tx = 22587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727287292480469 × 216)
    floor (0.727287292480469 × 65536)
    floor (47663.5)     		ty = 47663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22587 / 47663 ti = "16/22587/47663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22587/47663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22587 ÷ 216
    22587 ÷ 65536     		x = 0.344650268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47663 ÷ 216
    47663 ÷ 65536     		y = 0.727279663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344650268554688 × 2 - 1) × π
    -0.310699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97609115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727279663085938 × 2 - 1) × π
    -0.454559326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42804023968147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97609115} λ = -0.97609115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42804023968147))-π/2
    2×atan(0.239778370225952)-π/2
    2×0.235335411017709-π/2
    0.470670822035417-1.57079632675     		φ = -1.10012550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97609115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.925903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10012550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.032548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22587 KachelY 47663 -0.97609115 -1.10012550 -55.925903 -63.032548
    Oben rechts KachelX + 1 22588 KachelY 47663 -0.97599528 -1.10012550 -55.920410 -63.032548
    Unten links KachelX 22587 KachelY + 1 47664 -0.97609115 -1.10016898 -55.925903 -63.035039
    Unten rechts KachelX + 1 22588 KachelY + 1 47664 -0.97599528 -1.10016898 -55.920410 -63.035039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10012550--1.10016898) × R
    4.34799999999846e-05 × 6371000     		dl = 277.011079999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10012550--1.10016898) × R
    4.34799999999846e-05 × 6371000     		dr = 277.011079999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97609115--0.97599528) × cos(-1.10012550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453484271330057 × 6371000     		do = 276.982646815754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97609115--0.97599528) × cos(-1.10016898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453445518730545 × 6371000     		du = 276.958977201916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10012550)-sin(-1.10016898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453484271330057-0.453445518730545)×R²
    abs(-0.97599528--0.97609115)×3.8752599512526e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8752599512526e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8752599512526e-05×40589641000000     		ar = 76723.9837749588m²