Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22583 / 47723
↖ ↑ ↗
← S 63.181629°
W 55.947876°		 ← 275.59 m → S 63.181629°
W 55.942383°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
S 63.184107°
W 55.947876°		 ← 275.57 m →
75 936 m²		 S 63.184107°
W 55.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344596862792969 y=0.728202819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344596862792969 × 216)
    floor (0.344596862792969 × 65536)
    floor (22583.5)     		tx = 22583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728202819824219 × 216)
    floor (0.728202819824219 × 65536)
    floor (47723.5)     		ty = 47723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22583 / 47723 ti = "16/22583/47723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22583/47723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22583 ÷ 216
    22583 ÷ 65536     		x = 0.344589233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47723 ÷ 216
    47723 ÷ 65536     		y = 0.728195190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344589233398438 × 2 - 1) × π
    -0.310821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97647465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728195190429688 × 2 - 1) × π
    -0.456390380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43379266763588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97647465} λ = -0.97647465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43379266763588))-π/2
    2×atan(0.238403022014521)-π/2
    2×0.234034432568673-π/2
    0.468068865137347-1.57079632675     		φ = -1.10272746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97647465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.947876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10272746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.181629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22583 KachelY 47723 -0.97647465 -1.10272746 -55.947876 -63.181629
    Oben rechts KachelX + 1 22584 KachelY 47723 -0.97637877 -1.10272746 -55.942383 -63.181629
    Unten links KachelX 22583 KachelY + 1 47724 -0.97647465 -1.10277071 -55.947876 -63.184107
    Unten rechts KachelX + 1 22584 KachelY + 1 47724 -0.97637877 -1.10277071 -55.942383 -63.184107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10272746--1.10277071) × R
    4.32499999998281e-05 × 6371000     		dl = 275.545749998905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10272746--1.10277071) × R
    4.32499999998281e-05 × 6371000     		dr = 275.545749998905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97647465--0.97637877) × cos(-1.10272746) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.451163704854664 × 6371000     		do = 275.594016832893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97647465--0.97637877) × cos(-1.10277071) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.451125106350424 × 6371000     		du = 275.570438879452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10272746)-sin(-1.10277071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451163704854664-0.451125106350424)×R²
    abs(-0.97637877--0.97647465)×3.85985042395953e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.85985042395953e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.85985042395953e-05×40589641000000     		ar = 75935.5116724455m²