Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22581 / 47661
↖ ↑ ↗
← S 63.027566°
W 55.958862°		 ← 277.03 m → S 63.027566°
W 55.953369°		 →
↑
277.07 m
↓
↑
277.07 m
↓
S 63.030057°
W 55.958862°		 ← 277.01 m →
76 755 m²		 S 63.030057°
W 55.953369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344566345214844 y=0.727256774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344566345214844 × 216)
    floor (0.344566345214844 × 65536)
    floor (22581.5)     		tx = 22581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727256774902344 × 216)
    floor (0.727256774902344 × 65536)
    floor (47661.5)     		ty = 47661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22581 / 47661 ti = "16/22581/47661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22581/47661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22581 ÷ 216
    22581 ÷ 65536     		x = 0.344558715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47661 ÷ 216
    47661 ÷ 65536     		y = 0.727249145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344558715820312 × 2 - 1) × π
    -0.310882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97666639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727249145507812 × 2 - 1) × π
    -0.454498291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42784849208299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97666639} λ = -0.97666639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42784849208299))-π/2
    2×atan(0.239824351560874)-π/2
    2×0.235378891992531-π/2
    0.470757783985061-1.57079632675     		φ = -1.10003854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97666639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.958862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10003854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.027566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22581 KachelY 47661 -0.97666639 -1.10003854 -55.958862 -63.027566
    Oben rechts KachelX + 1 22582 KachelY 47661 -0.97657052 -1.10003854 -55.953369 -63.027566
    Unten links KachelX 22581 KachelY + 1 47662 -0.97666639 -1.10008203 -55.958862 -63.030057
    Unten rechts KachelX + 1 22582 KachelY + 1 47662 -0.97657052 -1.10008203 -55.953369 -63.030057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10003854--1.10008203) × R
    4.34900000001459e-05 × 6371000     		dl = 277.07479000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10003854--1.10008203) × R
    4.34900000001459e-05 × 6371000     		dr = 277.07479000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97666639--0.97657052) × cos(-1.10003854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453561773957059 × 6371000     		do = 277.02998447247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97666639--0.97657052) × cos(-1.10008203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453523014159807 × 6371000     		du = 277.006310462341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10003854)-sin(-1.10008203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453561773957059-0.453523014159807)×R²
    abs(-0.97657052--0.97666639)×3.87597972515974e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87597972515974e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87597972515974e-05×40589641000000     		ar = 76754.7450481312m²