Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2258 / 917
↖ ↑ ↗
← N 82.969970°
W130.385742°		 ← 299.03 m → N 82.969970°
W130.363769°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
N 82.967281°
W130.385742°		 ← 299.15 m →
89 444 m²		 N 82.967281°
W130.363769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137847900390625 y=0.055999755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137847900390625 × 214)
    floor (0.137847900390625 × 16384)
    floor (2258.5)     		tx = 2258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.055999755859375 × 214)
    floor (0.055999755859375 × 16384)
    floor (917.5)     		ty = 917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2258 / 917 ti = "14/2258/917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2258/917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2258 ÷ 214
    2258 ÷ 16384     		x = 0.1378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 917 ÷ 214
    917 ÷ 16384     		y = 0.05596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.724365234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27566050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.05596923828125 × 2 - 1) × π
    0.8880615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.78992755788727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27566050} λ = -2.27566050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.78992755788727))-π/2
    2×atan(16.2798404130358)-π/2
    2×1.50944774411615-π/2
    3.01889548823229-1.57079632675     		φ = 1.44809916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27566050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.385742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44809916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.969970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2258 KachelY 917 -2.27566050 1.44809916 -130.385742 82.969970
    Oben rechts KachelX + 1 2259 KachelY 917 -2.27527700 1.44809916 -130.363769 82.969970
    Unten links KachelX 2258 KachelY + 1 918 -2.27566050 1.44805222 -130.385742 82.967281
    Unten rechts KachelX + 1 2259 KachelY + 1 918 -2.27527700 1.44805222 -130.363769 82.967281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44809916-1.44805222) × R
    4.69400000000508e-05 × 6371000     		dl = 299.054740000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44809916-1.44805222) × R
    4.69400000000508e-05 × 6371000     		dr = 299.054740000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27566050--2.27527700) × cos(1.44809916) × R
    0.00038349999999987 × 0.12238953909311 × 6371000     		do = 299.031729491005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27566050--2.27527700) × cos(1.44805222) × R
    0.00038349999999987 × 0.12243612606997 × 6371000     		du = 299.145554449945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44809916)-sin(1.44805222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12238953909311-0.12243612606997)×R²
    abs(-2.27527700--2.27566050)×4.65869768593724e-05×R²
    0.00038349999999987×4.65869768593724e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.65869768593724e-05×40589641000000     		ar = 89443.8760782011m²