Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2258 / 6581
↖ ↑ ↗
← S 73.086633°
W 80.771484°		 ← 1 421.61 m → S 73.086633°
W 80.727539°		 →
↑
1 421.05 m
↓
↑
1 421.05 m
↓
S 73.099413°
W 80.771484°		 ← 1 420.56 m →
2 019 433 m²		 S 73.099413°
W 80.727539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27569580078125 y=0.80340576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27569580078125 × 213)
    floor (0.27569580078125 × 8192)
    floor (2258.5)     		tx = 2258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80340576171875 × 213)
    floor (0.80340576171875 × 8192)
    floor (6581.5)     		ty = 6581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2258 / 6581 ti = "13/2258/6581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2258/6581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2258 ÷ 213
    2258 ÷ 8192     		x = 0.275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6581 ÷ 213
    6581 ÷ 8192     		y = 0.8033447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.44873046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40972834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8033447265625 × 2 - 1) × π
    -0.606689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90597112889343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40972834} λ = -1.40972834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90597112889343))-π/2
    2×atan(0.148678186807853)-π/2
    2×0.147596970771722-π/2
    0.295193941543444-1.57079632675     		φ = -1.27560239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40972834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.771484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27560239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.086633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2258 KachelY 6581 -1.40972834 -1.27560239 -80.771484 -73.086633
    Oben rechts KachelX + 1 2259 KachelY 6581 -1.40896135 -1.27560239 -80.727539 -73.086633
    Unten links KachelX 2258 KachelY + 1 6582 -1.40972834 -1.27582544 -80.771484 -73.099413
    Unten rechts KachelX + 1 2259 KachelY + 1 6582 -1.40896135 -1.27582544 -80.727539 -73.099413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27560239--1.27582544) × R
    0.000223050000000002 × 6371000     		dl = 1421.05155000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27560239--1.27582544) × R
    0.000223050000000002 × 6371000     		dr = 1421.05155000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40972834--1.40896135) × cos(-1.27560239) × R
    0.000766990000000023 × 0.290925403795733 × 6371000     		do = 1421.60503353843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40972834--1.40896135) × cos(-1.27582544) × R
    0.000766990000000023 × 0.290711994423421 × 6371000     		du = 1420.56221007261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27560239)-sin(-1.27582544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290925403795733-0.290711994423421)×R²
    abs(-1.40896135--1.40972834)×0.000213409372311957×R²
    0.000766990000000023×0.000213409372311957×6371000²
    0.000766990000000023×0.000213409372311957×40589641000000     		ar = 2019433.09181846m²