Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2258 / 1186
↖ ↑ ↗
← N 82.208262°
W130.385742°		 ← 331.24 m → N 82.208262°
W130.363769°		 →
↑
331.29 m
↓
↑
331.29 m
↓
N 82.205282°
W130.385742°		 ← 331.37 m →
109 759 m²		 N 82.205282°
W130.363769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137847900390625 y=0.072418212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137847900390625 × 214)
    floor (0.137847900390625 × 16384)
    floor (2258.5)     		tx = 2258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.072418212890625 × 214)
    floor (0.072418212890625 × 16384)
    floor (1186.5)     		ty = 1186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2258 / 1186 ti = "14/2258/1186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2258/1186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2258 ÷ 214
    2258 ÷ 16384     		x = 0.1378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1186 ÷ 214
    1186 ÷ 16384     		y = 0.0723876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.724365234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27566050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0723876953125 × 2 - 1) × π
    0.855224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.68676734990491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27566050} λ = -2.27566050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.68676734990491))-π/2
    2×atan(14.6841304572049)-π/2
    2×1.50280058218818-π/2
    3.00560116437637-1.57079632675     		φ = 1.43480484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27566050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.385742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43480484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.208262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2258 KachelY 1186 -2.27566050 1.43480484 -130.385742 82.208262
    Oben rechts KachelX + 1 2259 KachelY 1186 -2.27527700 1.43480484 -130.363769 82.208262
    Unten links KachelX 2258 KachelY + 1 1187 -2.27566050 1.43475284 -130.385742 82.205282
    Unten rechts KachelX + 1 2259 KachelY + 1 1187 -2.27527700 1.43475284 -130.363769 82.205282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43480484-1.43475284) × R
    5.1999999999941e-05 × 6371000     		dl = 331.291999999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43480484-1.43475284) × R
    5.1999999999941e-05 × 6371000     		dr = 331.291999999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27566050--2.27527700) × cos(1.43480484) × R
    0.00038349999999987 × 0.135572710277083 × 6371000     		do = 331.241888206613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27566050--2.27527700) × cos(1.43475284) × R
    0.00038349999999987 × 0.135624229998547 × 6371000     		du = 331.367765234393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43480484)-sin(1.43475284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.135572710277083-0.135624229998547)×R²
    abs(-2.27527700--2.27566050)×5.15197214647212e-05×R²
    0.00038349999999987×5.15197214647212e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.15197214647212e-05×40589641000000     		ar = 109758.638678419m²