Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22575 / 47660
↖ ↑ ↗
← S 63.025074°
W 55.991822°		 ← 277.08 m → S 63.025074°
W 55.986328°		 →
↑
277.01 m
↓
↑
277.01 m
↓
S 63.027566°
W 55.991822°		 ← 277.06 m →
76 752 m²		 S 63.027566°
W 55.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344474792480469 y=0.727241516113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344474792480469 × 216)
    floor (0.344474792480469 × 65536)
    floor (22575.5)     		tx = 22575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727241516113281 × 216)
    floor (0.727241516113281 × 65536)
    floor (47660.5)     		ty = 47660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22575 / 47660 ti = "16/22575/47660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22575/47660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22575 ÷ 216
    22575 ÷ 65536     		x = 0.344467163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47660 ÷ 216
    47660 ÷ 65536     		y = 0.72723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344467163085938 × 2 - 1) × π
    -0.311065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97724164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.4544677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42775261828375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97724164} λ = -0.97724164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42775261828375))-π/2
    2×atan(0.239847345534851)-π/2
    2×0.235400635266548-π/2
    0.470801270533097-1.57079632675     		φ = -1.09999506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97724164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.991822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09999506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.025074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22575 KachelY 47660 -0.97724164 -1.09999506 -55.991822 -63.025074
    Oben rechts KachelX + 1 22576 KachelY 47660 -0.97714576 -1.09999506 -55.986328 -63.025074
    Unten links KachelX 22575 KachelY + 1 47661 -0.97724164 -1.10003854 -55.991822 -63.027566
    Unten rechts KachelX + 1 22576 KachelY + 1 47661 -0.97714576 -1.10003854 -55.986328 -63.027566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09999506--1.10003854) × R
    4.34799999999846e-05 × 6371000     		dl = 277.011079999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09999506--1.10003854) × R
    4.34799999999846e-05 × 6371000     		dr = 277.011079999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97724164--0.97714576) × cos(-1.09999506) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.453600523984401 × 6371000     		do = 277.082551404786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97724164--0.97714576) × cos(-1.10003854) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.453561773957059 × 6371000     		du = 277.058880893234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09999506)-sin(-1.10003854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453600523984401-0.453561773957059)×R²
    abs(-0.97714576--0.97724164)×3.87500273426045e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.87500273426045e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.87500273426045e-05×40589641000000     		ar = 76751.658329074m²