Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22570 / 47669
↖ ↑ ↗
← S 63.047491°
W 56.019287°		 ← 276.84 m → S 63.047491°
W 56.013794°		 →
↑
276.82 m
↓
↑
276.82 m
↓
S 63.049980°
W 56.019287°		 ← 276.82 m →
76 632 m²		 S 63.049980°
W 56.013794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344398498535156 y=0.727378845214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344398498535156 × 216)
    floor (0.344398498535156 × 65536)
    floor (22570.5)     		tx = 22570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727378845214844 × 216)
    floor (0.727378845214844 × 65536)
    floor (47669.5)     		ty = 47669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22570 / 47669 ti = "16/22570/47669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22570/47669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22570 ÷ 216
    22570 ÷ 65536     		x = 0.344390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47669 ÷ 216
    47669 ÷ 65536     		y = 0.727371215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.31121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97772100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727371215820312 × 2 - 1) × π
    -0.454742431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42861548247691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97772100} λ = -0.97772100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42861548247691))-π/2
    2×atan(0.239640479110215)-π/2
    2×0.235205012670483-π/2
    0.470410025340966-1.57079632675     		φ = -1.10038630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97772100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.019287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10038630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.047491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22570 KachelY 47669 -0.97772100 -1.10038630 -56.019287 -63.047491
    Oben rechts KachelX + 1 22571 KachelY 47669 -0.97762513 -1.10038630 -56.013794 -63.047491
    Unten links KachelX 22570 KachelY + 1 47670 -0.97772100 -1.10042975 -56.019287 -63.049980
    Unten rechts KachelX + 1 22571 KachelY + 1 47670 -0.97762513 -1.10042975 -56.013794 -63.049980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10038630--1.10042975) × R
    4.34499999999449e-05 × 6371000     		dl = 276.819949999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10038630--1.10042975) × R
    4.34499999999449e-05 × 6371000     		dr = 276.819949999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97772100--0.97762513) × cos(-1.10038630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453251814186398 × 6371000     		do = 276.840664835358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97772100--0.97762513) × cos(-1.10042975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453213083188167 × 6371000     		du = 276.817008415319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10038630)-sin(-1.10042975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453251814186398-0.453213083188167)×R²
    abs(-0.97762513--0.97772100)×3.87309982313178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87309982313178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87309982313178e-05×40589641000000     		ar = 76631.7447252548m²