Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2257 / 6582
↖ ↑ ↗
← S 73.099413°
W 80.815429°		 ← 1 420.56 m → S 73.099413°
W 80.771484°		 →
↑
1 420.03 m
↓
↑
1 420.03 m
↓
S 73.112184°
W 80.815429°		 ← 1 419.52 m →
2 016 504 m²		 S 73.112184°
W 80.771484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27557373046875 y=0.80352783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27557373046875 × 213)
    floor (0.27557373046875 × 8192)
    floor (2257.5)     		tx = 2257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80352783203125 × 213)
    floor (0.80352783203125 × 8192)
    floor (6582.5)     		ty = 6582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2257 / 6582 ti = "13/2257/6582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2257/6582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2257 ÷ 213
    2257 ÷ 8192     		x = 0.2755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6582 ÷ 213
    6582 ÷ 8192     		y = 0.803466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41049533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803466796875 × 2 - 1) × π
    -0.60693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90673811928735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41049533} λ = -1.41049533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90673811928735))-π/2
    2×atan(0.148564195787383)-π/2
    2×0.147485443201171-π/2
    0.294970886402342-1.57079632675     		φ = -1.27582544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41049533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.815429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27582544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.099413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2257 KachelY 6582 -1.41049533 -1.27582544 -80.815429 -73.099413
    Oben rechts KachelX + 1 2258 KachelY 6582 -1.40972834 -1.27582544 -80.771484 -73.099413
    Unten links KachelX 2257 KachelY + 1 6583 -1.41049533 -1.27604833 -80.815429 -73.112184
    Unten rechts KachelX + 1 2258 KachelY + 1 6583 -1.40972834 -1.27604833 -80.771484 -73.112184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27582544--1.27604833) × R
    0.000222890000000087 × 6371000     		dl = 1420.03219000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27582544--1.27604833) × R
    0.000222890000000087 × 6371000     		dr = 1420.03219000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41049533--1.40972834) × cos(-1.27582544) × R
    0.000766990000000023 × 0.290711994423421 × 6371000     		do = 1420.56221007261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41049533--1.40972834) × cos(-1.27604833) × R
    0.000766990000000023 × 0.290498723687874 × 6371000     		du = 1419.5200640544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27582544)-sin(-1.27604833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290711994423421-0.290498723687874)×R²
    abs(-1.40972834--1.41049533)×0.000213270735547944×R²
    0.000766990000000023×0.000213270735547944×6371000²
    0.000766990000000023×0.000213270735547944×40589641000000     		ar = 2016504.13410283m²