Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2257 / 2415
↖ ↑ ↗
← S 30.675715°
E 18.369140°		 ← 8 405.49 m → S 30.675715°
E 18.457032°		 →
↑
8 402.20 m
↓
↑
8 402.20 m
↓
S 30.751278°
E 18.369140°		 ← 8 398.91 m →
70 597 011 m²		 S 30.751278°
E 18.457032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5511474609375 y=0.5897216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5511474609375 × 212)
    floor (0.5511474609375 × 4096)
    floor (2257.5)     		tx = 2257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5897216796875 × 212)
    floor (0.5897216796875 × 4096)
    floor (2415.5)     		ty = 2415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2257 / 2415 ti = "12/2257/2415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2257/2415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2257 ÷ 212
    2257 ÷ 4096     		x = 0.551025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2415 ÷ 212
    2415 ÷ 4096     		y = 0.589599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551025390625 × 2 - 1) × π
    0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589599609375 × 2 - 1) × π
    -0.17919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.562970949137939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32060198} λ = 0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.562970949137939))-π/2
    2×atan(0.569514549177832)-π/2
    2×0.517702046300633-π/2
    1.03540409260127-1.57079632675     		φ = -0.53539223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53539223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.675715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2257 KachelY 2415 0.32060198 -0.53539223 18.369140 -30.675715
    Oben rechts KachelX + 1 2258 KachelY 2415 0.32213597 -0.53539223 18.457032 -30.675715
    Unten links KachelX 2257 KachelY + 1 2416 0.32060198 -0.53671105 18.369140 -30.751278
    Unten rechts KachelX + 1 2258 KachelY + 1 2416 0.32213597 -0.53671105 18.457032 -30.751278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53539223--0.53671105) × R
    0.00131881999999994 × 6371000     		dl = 8402.20221999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53539223--0.53671105) × R
    0.00131881999999994 × 6371000     		dr = 8402.20221999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32060198-0.32213597) × cos(-0.53539223) × R
    0.00153398999999999 × 0.860068588155245 × 6371000     		do = 8405.49356489042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32060198-0.32213597) × cos(-0.53671105) × R
    0.00153398999999999 × 0.859395006889381 × 6371000     		du = 8398.91062130474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53539223)-sin(-0.53671105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860068588155245-0.859395006889381)×R²
    abs(0.32213597-0.32060198)×0.000673581265863921×R²
    0.00153398999999999×0.000673581265863921×6371000²
    0.00153398999999999×0.000673581265863921×40589641000000     		ar = 70597011.3118736m²