Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22569 / 47719
↖ ↑ ↗
← S 63.171714°
W 56.024780°		 ← 275.69 m → S 63.171714°
W 56.019287°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
S 63.174194°
W 56.024780°		 ← 275.66 m →
75 997 m²		 S 63.174194°
W 56.019287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344383239746094 y=0.728141784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344383239746094 × 216)
    floor (0.344383239746094 × 65536)
    floor (22569.5)     		tx = 22569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728141784667969 × 216)
    floor (0.728141784667969 × 65536)
    floor (47719.5)     		ty = 47719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22569 / 47719 ti = "16/22569/47719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22569/47719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22569 ÷ 216
    22569 ÷ 65536     		x = 0.344375610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47719 ÷ 216
    47719 ÷ 65536     		y = 0.728134155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344375610351562 × 2 - 1) × π
    -0.311248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97781688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728134155273438 × 2 - 1) × π
    -0.456268310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43340917243892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97781688} λ = -0.97781688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43340917243892))-π/2
    2×atan(0.238494465961441)-π/2
    2×0.234120956930389-π/2
    0.468241913860778-1.57079632675     		φ = -1.10255441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97781688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.024780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10255441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.171714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22569 KachelY 47719 -0.97781688 -1.10255441 -56.024780 -63.171714
    Oben rechts KachelX + 1 22570 KachelY 47719 -0.97772100 -1.10255441 -56.019287 -63.171714
    Unten links KachelX 22569 KachelY + 1 47720 -0.97781688 -1.10259768 -56.024780 -63.174194
    Unten rechts KachelX + 1 22570 KachelY + 1 47720 -0.97772100 -1.10259768 -56.019287 -63.174194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10255441--1.10259768) × R
    4.32699999999286e-05 × 6371000     		dl = 275.673169999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10255441--1.10259768) × R
    4.32699999999286e-05 × 6371000     		dr = 275.673169999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97781688--0.97772100) × cos(-1.10255441) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.451318135049758 × 6371000     		do = 275.688350746123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97781688--0.97772100) × cos(-1.10259768) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.451279522074995 × 6371000     		du = 275.664763953342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10255441)-sin(-1.10259768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451318135049758-0.451279522074995)×R²
    abs(-0.97772100--0.97781688)×3.86129747638742e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.86129747638742e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.86129747638742e-05×40589641000000     		ar = 75996.6304709113m²