Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22569 / 39060
↖ ↑ ↗
← S 32.639375°
W 56.024780°		 ← 514.39 m → S 32.639375°
W 56.019287°		 →
↑
514.33 m
↓
↑
514.33 m
↓
S 32.644001°
W 56.024780°		 ← 514.36 m →
264 558 m²		 S 32.644001°
W 56.019287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344383239746094 y=0.596015930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344383239746094 × 216)
    floor (0.344383239746094 × 65536)
    floor (22569.5)     		tx = 22569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596015930175781 × 216)
    floor (0.596015930175781 × 65536)
    floor (39060.5)     		ty = 39060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22569 / 39060 ti = "16/22569/39060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22569/39060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22569 ÷ 216
    22569 ÷ 65536     		x = 0.344375610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39060 ÷ 216
    39060 ÷ 65536     		y = 0.59600830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344375610351562 × 2 - 1) × π
    -0.311248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97781688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59600830078125 × 2 - 1) × π
    -0.1920166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.603237944818787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97781688} λ = -0.97781688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603237944818787))-π/2
    2×atan(0.547037488147078)-π/2
    2×0.500565884736136-π/2
    1.00113176947227-1.57079632675     		φ = -0.56966456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97781688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.024780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56966456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.639375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22569 KachelY 39060 -0.97781688 -0.56966456 -56.024780 -32.639375
    Oben rechts KachelX + 1 22570 KachelY 39060 -0.97772100 -0.56966456 -56.019287 -32.639375
    Unten links KachelX 22569 KachelY + 1 39061 -0.97781688 -0.56974529 -56.024780 -32.644001
    Unten rechts KachelX + 1 22570 KachelY + 1 39061 -0.97772100 -0.56974529 -56.019287 -32.644001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56966456--0.56974529) × R
    8.07299999999733e-05 × 6371000     		dl = 514.33082999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56966456--0.56974529) × R
    8.07299999999733e-05 × 6371000     		dr = 514.33082999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97781688--0.97772100) × cos(-0.56966456) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.842081941967956 × 6371000     		do = 514.387000532658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97781688--0.97772100) × cos(-0.56974529) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.842038397529833 × 6371000     		du = 514.360401348185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56966456)-sin(-0.56974529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842081941967956-0.842038397529833)×R²
    abs(-0.97772100--0.97781688)×4.35444381222672e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.35444381222672e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.35444381222672e-05×40589641000000     		ar = 264558.252678248m²