Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22569 / 39049
↖ ↑ ↗
← S 32.588478°
W 56.024780°		 ← 514.68 m → S 32.588478°
W 56.019287°		 →
↑
514.59 m
↓
↑
514.59 m
↓
S 32.593106°
W 56.024780°		 ← 514.65 m →
264 840 m²		 S 32.593106°
W 56.019287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344383239746094 y=0.595848083496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344383239746094 × 216)
    floor (0.344383239746094 × 65536)
    floor (22569.5)     		tx = 22569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595848083496094 × 216)
    floor (0.595848083496094 × 65536)
    floor (39049.5)     		ty = 39049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22569 / 39049 ti = "16/22569/39049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22569/39049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22569 ÷ 216
    22569 ÷ 65536     		x = 0.344375610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39049 ÷ 216
    39049 ÷ 65536     		y = 0.595840454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344375610351562 × 2 - 1) × π
    -0.311248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97781688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595840454101562 × 2 - 1) × π
    -0.191680908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.602183333027145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97781688} λ = -0.97781688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602183333027145))-π/2
    2×atan(0.547614704648714)-π/2
    2×0.50101004575968-π/2
    1.00202009151936-1.57079632675     		φ = -0.56877624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97781688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.024780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56877624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.588478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22569 KachelY 39049 -0.97781688 -0.56877624 -56.024780 -32.588478
    Oben rechts KachelX + 1 22570 KachelY 39049 -0.97772100 -0.56877624 -56.019287 -32.588478
    Unten links KachelX 22569 KachelY + 1 39050 -0.97781688 -0.56885701 -56.024780 -32.593106
    Unten rechts KachelX + 1 22570 KachelY + 1 39050 -0.97772100 -0.56885701 -56.019287 -32.593106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56877624--0.56885701) × R
    8.07699999999523e-05 × 6371000     		dl = 514.585669999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56877624--0.56885701) × R
    8.07699999999523e-05 × 6371000     		dr = 514.585669999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97781688--0.97772100) × cos(-0.56877624) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.842560724702851 × 6371000     		do = 514.679465674868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97781688--0.97772100) × cos(-0.56885701) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.842517219122691 × 6371000     		du = 514.652890226839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56877624)-sin(-0.56885701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842560724702851-0.842517219122691)×R²
    abs(-0.97772100--0.97781688)×4.35055801603079e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.35055801603079e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.35055801603079e-05×40589641000000     		ar = 264839.840150988m²