Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22568 / 47592
↖ ↑ ↗
← S 62.855145°
W 56.030273°		 ← 278.67 m → S 62.855145°
W 56.024780°		 →
↑
278.67 m
↓
↑
278.67 m
↓
S 62.857652°
W 56.030273°		 ← 278.64 m →
77 652 m²		 S 62.857652°
W 56.024780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344367980957031 y=0.726203918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344367980957031 × 216)
    floor (0.344367980957031 × 65536)
    floor (22568.5)     		tx = 22568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726203918457031 × 216)
    floor (0.726203918457031 × 65536)
    floor (47592.5)     		ty = 47592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22568 / 47592 ti = "16/22568/47592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22568/47592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22568 ÷ 216
    22568 ÷ 65536     		x = 0.3443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47592 ÷ 216
    47592 ÷ 65536     		y = 0.7261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97791275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.452392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42123319993542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97791275} λ = -0.97791275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42123319993542))-π/2
    2×atan(0.241416118908651)-π/2
    2×0.236883542679807-π/2
    0.473767085359614-1.57079632675     		φ = -1.09702924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97791275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.030273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09702924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.855145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22568 KachelY 47592 -0.97791275 -1.09702924 -56.030273 -62.855145
    Oben rechts KachelX + 1 22569 KachelY 47592 -0.97781688 -1.09702924 -56.024780 -62.855145
    Unten links KachelX 22568 KachelY + 1 47593 -0.97791275 -1.09707298 -56.030273 -62.857652
    Unten rechts KachelX + 1 22569 KachelY + 1 47593 -0.97781688 -1.09707298 -56.024780 -62.857652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09702924--1.09707298) × R
    4.37400000001809e-05 × 6371000     		dl = 278.667540001152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09702924--1.09707298) × R
    4.37400000001809e-05 × 6371000     		dr = 278.667540001152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97791275--0.97781688) × cos(-1.09702924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456241679122718 × 6371000     		do = 278.666837772415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97791275--0.97781688) × cos(-1.09707298) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456202756389043 × 6371000     		du = 278.643064242711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09702924)-sin(-1.09707298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456241679122718-0.456202756389043)×R²
    abs(-0.97781688--0.97791275)×3.89227336752285e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89227336752285e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89227336752285e-05×40589641000000     		ar = 77652.0897187949m²