Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22567 / 47593
↖ ↑ ↗
← S 62.857652°
W 56.035767°		 ← 278.67 m → S 62.857652°
W 56.030273°		 →
↑
278.67 m
↓
↑
278.67 m
↓
S 62.860158°
W 56.035767°		 ← 278.65 m →
77 654 m²		 S 62.860158°
W 56.030273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344352722167969 y=0.726219177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344352722167969 × 216)
    floor (0.344352722167969 × 65536)
    floor (22567.5)     		tx = 22567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726219177246094 × 216)
    floor (0.726219177246094 × 65536)
    floor (47593.5)     		ty = 47593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22567 / 47593 ti = "16/22567/47593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22567/47593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22567 ÷ 216
    22567 ÷ 65536     		x = 0.344345092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47593 ÷ 216
    47593 ÷ 65536     		y = 0.726211547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344345092773438 × 2 - 1) × π
    -0.311309814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97800863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726211547851562 × 2 - 1) × π
    -0.452423095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42132907373466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97800863} λ = -0.97800863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42132907373466))-π/2
    2×atan(0.24139297453762)-π/2
    2×0.236861672801216-π/2
    0.473723345602431-1.57079632675     		φ = -1.09707298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97800863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.035767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09707298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.857652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22567 KachelY 47593 -0.97800863 -1.09707298 -56.035767 -62.857652
    Oben rechts KachelX + 1 22568 KachelY 47593 -0.97791275 -1.09707298 -56.030273 -62.857652
    Unten links KachelX 22567 KachelY + 1 47594 -0.97800863 -1.09711672 -56.035767 -62.860158
    Unten rechts KachelX + 1 22568 KachelY + 1 47594 -0.97791275 -1.09711672 -56.030273 -62.860158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09707298--1.09711672) × R
    4.37399999999588e-05 × 6371000     		dl = 278.667539999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09707298--1.09711672) × R
    4.37399999999588e-05 × 6371000     		dr = 278.667539999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97800863--0.97791275) × cos(-1.09707298) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.456202756389043 × 6371000     		do = 278.672128920466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97800863--0.97791275) × cos(-1.09711672) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.456163832782567 × 6371000     		du = 278.648352377843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09707298)-sin(-1.09711672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456202756389043-0.456163832782567)×R²
    abs(-0.97791275--0.97800863)×3.89236064764487e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.89236064764487e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.89236064764487e-05×40589641000000     		ar = 77653.5637701454m²