Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22567 / 39057
↖ ↑ ↗
← S 32.625497°
W 56.035767°		 ← 514.47 m → S 32.625497°
W 56.030273°		 →
↑
514.39 m
↓
↑
514.39 m
↓
S 32.630123°
W 56.035767°		 ← 514.44 m →
264 632 m²		 S 32.630123°
W 56.030273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344352722167969 y=0.595970153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344352722167969 × 216)
    floor (0.344352722167969 × 65536)
    floor (22567.5)     		tx = 22567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595970153808594 × 216)
    floor (0.595970153808594 × 65536)
    floor (39057.5)     		ty = 39057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22567 / 39057 ti = "16/22567/39057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22567/39057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22567 ÷ 216
    22567 ÷ 65536     		x = 0.344345092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39057 ÷ 216
    39057 ÷ 65536     		y = 0.595962524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344345092773438 × 2 - 1) × π
    -0.311309814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97800863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595962524414062 × 2 - 1) × π
    -0.191925048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.602950323421066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97800863} λ = -0.97800863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602950323421066))-π/2
    2×atan(0.547194850463324)-π/2
    2×0.500686994521277-π/2
    1.00137398904255-1.57079632675     		φ = -0.56942234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97800863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.035767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56942234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.625497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22567 KachelY 39057 -0.97800863 -0.56942234 -56.035767 -32.625497
    Oben rechts KachelX + 1 22568 KachelY 39057 -0.97791275 -0.56942234 -56.030273 -32.625497
    Unten links KachelX 22567 KachelY + 1 39058 -0.97800863 -0.56950308 -56.035767 -32.630123
    Unten rechts KachelX + 1 22568 KachelY + 1 39058 -0.97791275 -0.56950308 -56.030273 -32.630123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56942234--0.56950308) × R
    8.07400000000236e-05 × 6371000     		dl = 514.39454000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56942234--0.56950308) × R
    8.07400000000236e-05 × 6371000     		dr = 514.39454000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97800863--0.97791275) × cos(-0.56942234) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.842212558526787 × 6371000     		do = 514.466787850933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97800863--0.97791275) × cos(-0.56950308) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.842169025163804 × 6371000     		du = 514.440195431725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56942234)-sin(-0.56950308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842212558526787-0.842169025163804)×R²
    abs(-0.97791275--0.97800863)×4.35333629825729e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.35333629825729e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.35333629825729e-05×40589641000000     		ar = 264632.067328347m²