Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22562 / 47672
↖ ↑ ↗
← S 63.054959°
W 56.063233°		 ← 276.80 m → S 63.054959°
W 56.057739°		 →
↑
276.76 m
↓
↑
276.76 m
↓
S 63.057448°
W 56.063233°		 ← 276.77 m →
76 602 m²		 S 63.057448°
W 56.057739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344276428222656 y=0.727424621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344276428222656 × 216)
    floor (0.344276428222656 × 65536)
    floor (22562.5)     		tx = 22562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727424621582031 × 216)
    floor (0.727424621582031 × 65536)
    floor (47672.5)     		ty = 47672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22562 / 47672 ti = "16/22562/47672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22562/47672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22562 ÷ 216
    22562 ÷ 65536     		x = 0.344268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47672 ÷ 216
    47672 ÷ 65536     		y = 0.7274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.31146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97848800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7274169921875 × 2 - 1) × π
    -0.454833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42890310387463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97848800} λ = -0.97848800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42890310387463))-π/2
    2×atan(0.23957156329197)-π/2
    2×0.235139838565744-π/2
    0.470279677131488-1.57079632675     		φ = -1.10051665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97848800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.063233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10051665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.054959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22562 KachelY 47672 -0.97848800 -1.10051665 -56.063233 -63.054959
    Oben rechts KachelX + 1 22563 KachelY 47672 -0.97839212 -1.10051665 -56.057739 -63.054959
    Unten links KachelX 22562 KachelY + 1 47673 -0.97848800 -1.10056009 -56.063233 -63.057448
    Unten rechts KachelX + 1 22563 KachelY + 1 47673 -0.97839212 -1.10056009 -56.057739 -63.057448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10051665--1.10056009) × R
    4.34400000000057e-05 × 6371000     		dl = 276.756240000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10051665--1.10056009) × R
    4.34400000000057e-05 × 6371000     		dr = 276.756240000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97848800--0.97839212) × cos(-1.10051665) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.453135618624911 × 6371000     		do = 276.798563277881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97848800--0.97839212) × cos(-1.10056009) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.453096893974645 × 6371000     		du = 276.774908267954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10051665)-sin(-1.10056009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453135618624911-0.453096893974645)×R²
    abs(-0.97839212--0.97848800)×3.87246502655536e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.87246502655536e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.87246502655536e-05×40589641000000     		ar = 76602.456286483m²