Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22561 / 47709
↖ ↑ ↗
← S 63.146912°
W 56.068726°		 ← 275.90 m → S 63.146912°
W 56.063233°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
S 63.149394°
W 56.068726°		 ← 275.87 m →
76 124 m²		 S 63.149394°
W 56.063233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344261169433594 y=0.727989196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344261169433594 × 216)
    floor (0.344261169433594 × 65536)
    floor (22561.5)     		tx = 22561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727989196777344 × 216)
    floor (0.727989196777344 × 65536)
    floor (47709.5)     		ty = 47709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22561 / 47709 ti = "16/22561/47709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22561/47709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22561 ÷ 216
    22561 ÷ 65536     		x = 0.344253540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47709 ÷ 216
    47709 ÷ 65536     		y = 0.727981567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344253540039062 × 2 - 1) × π
    -0.311492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97858387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727981567382812 × 2 - 1) × π
    -0.455963134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43245043444652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97858387} λ = -0.97858387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43245043444652))-π/2
    2×atan(0.23872322931147)-π/2
    2×0.234337397417552-π/2
    0.468674794835105-1.57079632675     		φ = -1.10212153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97858387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.068726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10212153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.146912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22561 KachelY 47709 -0.97858387 -1.10212153 -56.068726 -63.146912
    Oben rechts KachelX + 1 22562 KachelY 47709 -0.97848800 -1.10212153 -56.063233 -63.146912
    Unten links KachelX 22561 KachelY + 1 47710 -0.97858387 -1.10216484 -56.068726 -63.149394
    Unten rechts KachelX + 1 22562 KachelY + 1 47710 -0.97848800 -1.10216484 -56.063233 -63.149394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10212153--1.10216484) × R
    4.33099999999076e-05 × 6371000     		dl = 275.928009999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10212153--1.10216484) × R
    4.33099999999076e-05 × 6371000     		dr = 275.928009999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97858387--0.97848800) × cos(-1.10212153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451704378900672 × 6371000     		do = 275.895510287971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97858387--0.97848800) × cos(-1.10216484) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451665738695188 × 6371000     		du = 275.87190932303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10212153)-sin(-1.10216484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451704378900672-0.451665738695188)×R²
    abs(-0.97848800--0.97858387)×3.86402054844415e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86402054844415e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86402054844415e-05×40589641000000     		ar = 76124.04304972m²