Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2256 / 6456
↖ ↑ ↗
← S 71.413177°
W 80.859375°		 ← 1 557.53 m → S 71.413177°
W 80.815429°		 →
↑
1 556.94 m
↓
↑
1 556.94 m
↓
S 71.427179°
W 80.859375°		 ← 1 556.40 m →
2 424 103 m²		 S 71.427179°
W 80.815429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27545166015625 y=0.78814697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27545166015625 × 213)
    floor (0.27545166015625 × 8192)
    floor (2256.5)     		tx = 2256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78814697265625 × 213)
    floor (0.78814697265625 × 8192)
    floor (6456.5)     		ty = 6456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2256 / 6456 ti = "13/2256/6456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2256/6456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2256 ÷ 213
    2256 ÷ 8192     		x = 0.275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6456 ÷ 213
    6456 ÷ 8192     		y = 0.7880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275390625 × 2 - 1) × π
    -0.44921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41126232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7880859375 × 2 - 1) × π
    -0.576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81009732965332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41126232} λ = -1.41126232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81009732965332))-π/2
    2×atan(0.163638209177432)-π/2
    2×0.162200630874873-π/2
    0.324401261749747-1.57079632675     		φ = -1.24639507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41126232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.859375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24639507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.413177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2256 KachelY 6456 -1.41126232 -1.24639507 -80.859375 -71.413177
    Oben rechts KachelX + 1 2257 KachelY 6456 -1.41049533 -1.24639507 -80.815429 -71.413177
    Unten links KachelX 2256 KachelY + 1 6457 -1.41126232 -1.24663945 -80.859375 -71.427179
    Unten rechts KachelX + 1 2257 KachelY + 1 6457 -1.41049533 -1.24663945 -80.815429 -71.427179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24639507--1.24663945) × R
    0.000244380000000044 × 6371000     		dl = 1556.94498000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24639507--1.24663945) × R
    0.000244380000000044 × 6371000     		dr = 1556.94498000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41126232--1.41049533) × cos(-1.24639507) × R
    0.000766990000000023 × 0.318741329222602 × 6371000     		do = 1557.52736649197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41126232--1.41049533) × cos(-1.24663945) × R
    0.000766990000000023 × 0.318509686142494 × 6371000     		du = 1556.39544413535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24639507)-sin(-1.24663945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318741329222602-0.318509686142494)×R²
    abs(-1.41049533--1.41126232)×0.000231643080107813×R²
    0.000766990000000023×0.000231643080107813×6371000²
    0.000766990000000023×0.000231643080107813×40589641000000     		ar = 2424103.25612179m²