Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2256 / 2959
↖ ↑ ↗
← S 62.226996°
E 18.281250°		 ← 4 553.92 m → S 62.226996°
E 18.369140°		 →
↑
4 550.87 m
↓
↑
4 550.87 m
↓
S 62.267923°
E 18.281250°		 ← 4 547.74 m →
20 710 222 m²		 S 62.267923°
E 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5509033203125 y=0.7225341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5509033203125 × 212)
    floor (0.5509033203125 × 4096)
    floor (2256.5)     		tx = 2256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7225341796875 × 212)
    floor (0.7225341796875 × 4096)
    floor (2959.5)     		ty = 2959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2256 / 2959 ti = "12/2256/2959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2256/2959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2256 ÷ 212
    2256 ÷ 4096     		x = 0.55078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2959 ÷ 212
    2959 ÷ 4096     		y = 0.722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55078125 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.44482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39745649772388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31906800} λ = 0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39745649772388))-π/2
    2×atan(0.247224982225068)-π/2
    2×0.242365181177134-π/2
    0.484730362354268-1.57079632675     		φ = -1.08606596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08606596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.226996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2256 KachelY 2959 0.31906800 -1.08606596 18.281250 -62.226996
    Oben rechts KachelX + 1 2257 KachelY 2959 0.32060198 -1.08606596 18.369140 -62.226996
    Unten links KachelX 2256 KachelY + 1 2960 0.31906800 -1.08678027 18.281250 -62.267923
    Unten rechts KachelX + 1 2257 KachelY + 1 2960 0.32060198 -1.08678027 18.369140 -62.267923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08606596--1.08678027) × R
    0.000714309999999996 × 6371000     		dl = 4550.86900999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08606596--1.08678027) × R
    0.000714309999999996 × 6371000     		dr = 4550.86900999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31906800-0.32060198) × cos(-1.08606596) × R
    0.00153397999999999 × 0.465969804762405 × 6371000     		do = 4553.91664862818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31906800-0.32060198) × cos(-1.08678027) × R
    0.00153397999999999 × 0.46533766400578 × 6371000     		du = 4547.73874549701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08606596)-sin(-1.08678027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465969804762405-0.46533766400578)×R²
    abs(0.32060198-0.31906800)×0.000632140756624766×R²
    0.00153397999999999×0.000632140756624766×6371000²
    0.00153397999999999×0.000632140756624766×40589641000000     		ar = 20710221.617008m²