Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22557 / 38902
↖ ↑ ↗
← S 31.905542°
W 56.090698°		 ← 518.51 m → S 31.905542°
W 56.085205°		 →
↑
518.54 m
↓
↑
518.54 m
↓
S 31.910205°
W 56.090698°		 ← 518.48 m →
268 859 m²		 S 31.910205°
W 56.085205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344200134277344 y=0.593605041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344200134277344 × 216)
    floor (0.344200134277344 × 65536)
    floor (22557.5)     		tx = 22557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593605041503906 × 216)
    floor (0.593605041503906 × 65536)
    floor (38902.5)     		ty = 38902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22557 / 38902 ti = "16/22557/38902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22557/38902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22557 ÷ 216
    22557 ÷ 65536     		x = 0.344192504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38902 ÷ 216
    38902 ÷ 65536     		y = 0.593597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344192504882812 × 2 - 1) × π
    -0.311614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97896736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.18719482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.588089884538849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97896736} λ = -0.97896736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.588089884538849))-π/2
    2×atan(0.555387125738721)-π/2
    2×0.50696978938608-π/2
    1.01393957877216-1.57079632675     		φ = -0.55685675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97896736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.090698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55685675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.905542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22557 KachelY 38902 -0.97896736 -0.55685675 -56.090698 -31.905542
    Oben rechts KachelX + 1 22558 KachelY 38902 -0.97887149 -0.55685675 -56.085205 -31.905542
    Unten links KachelX 22557 KachelY + 1 38903 -0.97896736 -0.55693814 -56.090698 -31.910205
    Unten rechts KachelX + 1 22558 KachelY + 1 38903 -0.97887149 -0.55693814 -56.085205 -31.910205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55685675--0.55693814) × R
    8.1389999999959e-05 × 6371000     		dl = 518.535689999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55685675--0.55693814) × R
    8.1389999999959e-05 × 6371000     		dr = 518.535689999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97896736--0.97887149) × cos(-0.55685675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848920573835155 × 6371000     		do = 518.510304199883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97896736--0.97887149) × cos(-0.55693814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84887755474453 × 6371000     		du = 518.484028665453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55685675)-sin(-0.55693814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848920573835155-0.84887755474453)×R²
    abs(-0.97887149--0.97896736)×4.30190906242078e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30190906242078e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30190906242078e-05×40589641000000     		ar = 268859.286107625m²