Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22554 / 47610
↖ ↑ ↗
← S 62.900223°
W 56.107178°		 ← 278.27 m → S 62.900223°
W 56.101684°		 →
↑
278.22 m
↓
↑
278.22 m
↓
S 62.902725°
W 56.107178°		 ← 278.24 m →
77 417 m²		 S 62.902725°
W 56.101684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344154357910156 y=0.726478576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344154357910156 × 216)
    floor (0.344154357910156 × 65536)
    floor (22554.5)     		tx = 22554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726478576660156 × 216)
    floor (0.726478576660156 × 65536)
    floor (47610.5)     		ty = 47610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22554 / 47610 ti = "16/22554/47610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22554/47610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22554 ÷ 216
    22554 ÷ 65536     		x = 0.344146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47610 ÷ 216
    47610 ÷ 65536     		y = 0.726470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344146728515625 × 2 - 1) × π
    -0.31170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97925499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.45294189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42295892832175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97925499} λ = -0.97925499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42295892832175))-π/2
    2×atan(0.240999859537947)-π/2
    2×0.236490170231619-π/2
    0.472980340463238-1.57079632675     		φ = -1.09781599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97925499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.107178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09781599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.900223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22554 KachelY 47610 -0.97925499 -1.09781599 -56.107178 -62.900223
    Oben rechts KachelX + 1 22555 KachelY 47610 -0.97915911 -1.09781599 -56.101684 -62.900223
    Unten links KachelX 22554 KachelY + 1 47611 -0.97925499 -1.09785966 -56.107178 -62.902725
    Unten rechts KachelX + 1 22555 KachelY + 1 47611 -0.97915911 -1.09785966 -56.101684 -62.902725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09781599--1.09785966) × R
    4.36699999999401e-05 × 6371000     		dl = 278.221569999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09781599--1.09785966) × R
    4.36699999999401e-05 × 6371000     		dr = 278.221569999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97925499--0.97915911) × cos(-1.09781599) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.455541443861098 × 6371000     		do = 278.268165184029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97925499--0.97915911) × cos(-1.09785966) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.455502567756163 × 6371000     		du = 278.244417657792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09781599)-sin(-1.09785966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455541443861098-0.455502567756163)×R²
    abs(-0.97915911--0.97925499)×3.88761049353037e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.88761049353037e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.88761049353037e-05×40589641000000     		ar = 77416.9022736241m²