Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22550 / 47609
↖ ↑ ↗
← S 62.897720°
W 56.129150°		 ← 278.26 m → S 62.897720°
W 56.123657°		 →
↑
278.29 m
↓
↑
278.29 m
↓
S 62.900223°
W 56.129150°		 ← 278.24 m →
77 433 m²		 S 62.900223°
W 56.123657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344093322753906 y=0.726463317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344093322753906 × 216)
    floor (0.344093322753906 × 65536)
    floor (22550.5)     		tx = 22550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726463317871094 × 216)
    floor (0.726463317871094 × 65536)
    floor (47609.5)     		ty = 47609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22550 / 47609 ti = "16/22550/47609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22550/47609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22550 ÷ 216
    22550 ÷ 65536     		x = 0.344085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47609 ÷ 216
    47609 ÷ 65536     		y = 0.726455688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.31182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97963848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726455688476562 × 2 - 1) × π
    -0.452911376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42286305452251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97963848} λ = -0.97963848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42286305452251))-π/2
    2×atan(0.241022966217742)-π/2
    2×0.236512008408148-π/2
    0.473024016816295-1.57079632675     		φ = -1.09777231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97963848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.129150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09777231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.897720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22550 KachelY 47609 -0.97963848 -1.09777231 -56.129150 -62.897720
    Oben rechts KachelX + 1 22551 KachelY 47609 -0.97954261 -1.09777231 -56.123657 -62.897720
    Unten links KachelX 22550 KachelY + 1 47610 -0.97963848 -1.09781599 -56.129150 -62.900223
    Unten rechts KachelX + 1 22551 KachelY + 1 47610 -0.97954261 -1.09781599 -56.123657 -62.900223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09777231--1.09781599) × R
    4.36799999998794e-05 × 6371000     		dl = 278.285279999231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09777231--1.09781599) × R
    4.36799999998794e-05 × 6371000     		dr = 278.285279999231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97963848--0.97954261) × cos(-1.09777231) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455580327999231 × 6371000     		do = 278.262892594513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97963848--0.97954261) × cos(-1.09781599) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455541443861098 × 6371000     		du = 278.239142638494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09777231)-sin(-1.09781599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455580327999231-0.455541443861098)×R²
    abs(-0.97954261--0.97963848)×3.88841381330773e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88841381330773e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88841381330773e-05×40589641000000     		ar = 77433.1623596116m²