Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2255 / 2350
↖ ↑ ↗
← S 25.641526°
E 18.193359°		 ← 8 810.53 m → S 25.641526°
E 18.281250°		 →
↑
8 807.59 m
↓
↑
8 807.59 m
↓
S 25.720735°
E 18.193359°		 ← 8 804.68 m →
77 573 793 m²		 S 25.720735°
E 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5506591796875 y=0.5738525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5506591796875 × 212)
    floor (0.5506591796875 × 4096)
    floor (2255.5)     		tx = 2255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5738525390625 × 212)
    floor (0.5738525390625 × 4096)
    floor (2350.5)     		ty = 2350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2255 / 2350 ti = "12/2255/2350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2255/2350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2255 ÷ 212
    2255 ÷ 4096     		x = 0.550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2350 ÷ 212
    2350 ÷ 4096     		y = 0.57373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550537109375 × 2 - 1) × π
    0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57373046875 × 2 - 1) × π
    -0.1474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.463262197928223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31753402} λ = 0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.463262197928223))-π/2
    2×atan(0.629227628696655)-π/2
    2×0.561633633179938-π/2
    1.12326726635988-1.57079632675     		φ = -0.44752906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44752906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.641526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2255 KachelY 2350 0.31753402 -0.44752906 18.193359 -25.641526
    Oben rechts KachelX + 1 2256 KachelY 2350 0.31906800 -0.44752906 18.281250 -25.641526
    Unten links KachelX 2255 KachelY + 1 2351 0.31753402 -0.44891151 18.193359 -25.720735
    Unten rechts KachelX + 1 2256 KachelY + 1 2351 0.31906800 -0.44891151 18.281250 -25.720735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44752906--0.44891151) × R
    0.00138245000000004 × 6371000     		dl = 8807.58895000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44752906--0.44891151) × R
    0.00138245000000004 × 6371000     		dr = 8807.58895000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31753402-0.31906800) × cos(-0.44752906) × R
    0.00153398000000005 × 0.901519126137334 × 6371000     		do = 8810.53432135375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31753402-0.31906800) × cos(-0.44891151) × R
    0.00153398000000005 × 0.90092002446388 × 6371000     		du = 8804.67930873903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44752906)-sin(-0.44891151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901519126137334-0.90092002446388)×R²
    abs(0.31906800-0.31753402)×0.000599101673453672×R²
    0.00153398000000005×0.000599101673453672×6371000²
    0.00153398000000005×0.000599101673453672×40589641000000     		ar = 77573792.8148634m²