Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22549 / 38927
↖ ↑ ↗
← S 32.022049°
W 56.134643°		 ← 517.85 m → S 32.022049°
W 56.129150°		 →
↑
517.83 m
↓
↑
517.83 m
↓
S 32.026706°
W 56.134643°		 ← 517.83 m →
268 155 m²		 S 32.026706°
W 56.129150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344078063964844 y=0.593986511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344078063964844 × 216)
    floor (0.344078063964844 × 65536)
    floor (22549.5)     		tx = 22549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593986511230469 × 216)
    floor (0.593986511230469 × 65536)
    floor (38927.5)     		ty = 38927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22549 / 38927 ti = "16/22549/38927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22549/38927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22549 ÷ 216
    22549 ÷ 65536     		x = 0.344070434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38927 ÷ 216
    38927 ÷ 65536     		y = 0.593978881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344070434570312 × 2 - 1) × π
    -0.311859130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97973435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593978881835938 × 2 - 1) × π
    -0.187957763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.590486729519852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97973435} λ = -0.97973435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590486729519852))-π/2
    2×atan(0.554057542932342)-π/2
    2×0.505953068695311-π/2
    1.01190613739062-1.57079632675     		φ = -0.55889019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97973435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.134643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55889019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.022049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22549 KachelY 38927 -0.97973435 -0.55889019 -56.134643 -32.022049
    Oben rechts KachelX + 1 22550 KachelY 38927 -0.97963848 -0.55889019 -56.129150 -32.022049
    Unten links KachelX 22549 KachelY + 1 38928 -0.97973435 -0.55897147 -56.134643 -32.026706
    Unten rechts KachelX + 1 22550 KachelY + 1 38928 -0.97963848 -0.55897147 -56.129150 -32.026706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55889019--0.55897147) × R
    8.12800000000724e-05 × 6371000     		dl = 517.834880000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55889019--0.55897147) × R
    8.12800000000724e-05 × 6371000     		dr = 517.834880000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97973435--0.97963848) × cos(-0.55889019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847844104873928 × 6371000     		do = 517.852810123582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97973435--0.97963848) × cos(-0.55897147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847801003712716 × 6371000     		du = 517.82648446144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55889019)-sin(-0.55897147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847844104873928-0.847801003712716)×R²
    abs(-0.97963848--0.97973435)×4.3101161211867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3101161211867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3101161211867e-05×40589641000000     		ar = 268155.4317627m²