Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22548 / 38929
↖ ↑ ↗
← S 32.031363°
W 56.140137°		 ← 517.85 m → S 32.031363°
W 56.134643°		 →
↑
517.83 m
↓
↑
517.83 m
↓
S 32.036020°
W 56.140137°		 ← 517.83 m →
268 156 m²		 S 32.036020°
W 56.134643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344062805175781 y=0.594017028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344062805175781 × 216)
    floor (0.344062805175781 × 65536)
    floor (22548.5)     		tx = 22548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594017028808594 × 216)
    floor (0.594017028808594 × 65536)
    floor (38929.5)     		ty = 38929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22548 / 38929 ti = "16/22548/38929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22548/38929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22548 ÷ 216
    22548 ÷ 65536     		x = 0.34405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38929 ÷ 216
    38929 ÷ 65536     		y = 0.594009399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.3118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97983023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594009399414062 × 2 - 1) × π
    -0.188018798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.590678477118332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97983023} λ = -0.97983023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590678477118332))-π/2
    2×atan(0.55395131391397)-π/2
    2×0.505871786792311-π/2
    1.01174357358462-1.57079632675     		φ = -0.55905275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97983023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.140137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55905275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.031363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22548 KachelY 38929 -0.97983023 -0.55905275 -56.140137 -32.031363
    Oben rechts KachelX + 1 22549 KachelY 38929 -0.97973435 -0.55905275 -56.134643 -32.031363
    Unten links KachelX 22548 KachelY + 1 38930 -0.97983023 -0.55913403 -56.140137 -32.036020
    Unten rechts KachelX + 1 22549 KachelY + 1 38930 -0.97973435 -0.55913403 -56.134643 -32.036020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55905275--0.55913403) × R
    8.12799999999614e-05 × 6371000     		dl = 517.834879999754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55905275--0.55913403) × R
    8.12799999999614e-05 × 6371000     		dr = 517.834879999754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97983023--0.97973435) × cos(-0.55905275) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.84775789695056 × 6371000     		do = 517.854166034197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97983023--0.97973435) × cos(-0.55913403) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.847714784587742 × 6371000     		du = 517.827830783564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55905275)-sin(-0.55913403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84775789695056-0.847714784587742)×R²
    abs(-0.97973435--0.97983023)×4.3112362817288e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.3112362817288e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.3112362817288e-05×40589641000000     		ar = 268156.131417688m²